[tex]4( 2^{2a} * 5^{a} +bb)=1999-3* 2^{c} [/tex]
In primul rand, observam ca
[tex]4( 2^{2a} * 5^{a} +bb)[/tex] este numar par, indiferent de valoarea lui a sau b, deci si in membrul drept va trebui sa avem un rezultat par.
1999=impar, deci va trebui ca 3*[tex] 2^{c} [/tex] sa fie tot impar, adica, 3 fiind impar, trebuie ca [tex] 2^{c} [/tex] sa fie impar, ceea ce se intampla doar pentru c=0. Asadar, exercitiul se rescrie:
[tex]4( 2^{2a} * 5^{a} +bb)=1999-3* 2^{0} [/tex]
[tex]4( 2^{2a} * 5^{a} +bb)=1996[/tex], de unde
[tex] 2^{2a} * 5^{a} +bb=499[/tex]
[tex]( 2^{2} )^{a} * 5^{a} +bb=499[/tex]
[tex] 4^{a} * 5^{a} +bb=499[/tex]
[tex] 20^{a} +bb=499[/tex]
Daca a=0, atunci ar trebui ca:
1+bb=499
bb=498 contradictie (nu are 2 cifre)
Daca a=1, atunci:
20+bb=499
bb=479 contradictie
Daca a=2, atunci:
[tex] 20^{2} +bb=499[/tex]
400+bb=499
bb=99 convine, deci b=9.
Daca a>=3, atunci
[tex] 20^{a} [/tex]>=[tex] 20^{3} [/tex]=8000>499 contradictie.
Deci solutia este:
a=2, b=9, c=0.
