👤
GABRI18VIZ
a fost răspuns

a) Demonstrati ca:[tex] \sqrt{1+ \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{n^2} }= \frac{n^2+n+1}{n(n+1)} [/tex] ,oricare ar fi n∈N*[tex] b) Calculati suma: S= \sqrt{1+ \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2} } + ...+ \sqrt{1+ \frac{1}{98^2}+ \frac{1}{99^2} }[/tex]

Răspuns :

egalitatea de la primul punct se arată mai ușor dacă scrii fracția din dreapta așa:

[tex]\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}[/tex]. Ridici apoi la pătrat și obții

[tex]1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}=\left(1+\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)^2[/tex]

în dreapta folosești formula (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Pentru 2)

Folosești egalitatea demonstrată la punctul 1) pentru n=2, 3, ..., 98, și obții:

[tex]S=1+\dfrac12-\dfrac13+1+\dfrac13-\dfrac14+1+\dfrac14-\dfrac15+...+1+\dfrac{1}{98}-\dfrac{1}{99}=[/tex]

[tex]=97+\dfrac12-\dfrac{1}{99}=...\ (cred\ ca\ nu\ e\ o\ problema)[/tex]




Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari