👤
VERONICA0VIZ
a fost răspuns

Integrala din x*arctgx/(1+x^2)^2. Nu e necesara rezolvarea completa, ci ideea.

Răspuns :

Integrăm prin părți, cu notația:

[tex]f(x)=arctgx; f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \ g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}[/tex]  și obținem:

[tex]I=\displaystyle\int\dfrac{xarctgx}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{arctgx}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x^2)^2}dx[/tex]

Notăm ultima integrală cu J și o calculăm astfel:

[tex]J=\displaystyle\int\dfrac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}dx=\displaystyle\int\left(1-\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\right)dx=x-K[/tex]

Pe integrala K o calculăm astfel:

[tex]K=\displaystyle\int\dfrac{x\cdot x}{(1+x^2)^2}dx=-\dfrac{x}{2(1+x^2)}+\dfrac12\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}dx[/tex]

Aici am folosit integrarea prin părți, cu notația:

[tex]f(x)=x;\ \ f'(x)=1[/tex]

[tex]g'(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2};\ \g(x)=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}[/tex]

Cu indicațiile acestea s-a cam terminat de calculat.  OK?
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari