Consideram numarul [tex] 2^{n} [/tex]. (n∈Z)
-daca n≥0 => [tex] 2^{n} [/tex]≥1.
De aici rezulta ca [tex] x^{2} -2y [/tex] si [tex] y^{2} -2x [/tex] nu pot fi naturale.
-daca n<0, atunci [tex] 2^{n} [/tex]∈{[tex] \frac{1}{2} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{8}... [/tex]}
Din aceasta observatie se va constata ca [tex] 2^{ x^{2} -2y} = 2^{ y^{2} -2x} = \frac{1}{2} [/tex]. (Este firesc ca niciunul dintre ei nu poate fi mai mic decat [tex] \frac{1}{2}[/tex], caci in acest caz celalalt termen ar fi mai mare decat [tex] \frac{1}{2} [/tex]-ceea ce este imposibil).
Asadar, rezulta: [tex] x^{2} -2y= y^{2} -2x=-1[/tex]
[tex] x^{2} -2y= y^{2} -2x <=> \\ <=> x^{2} - y^{2}=-2x+2y <=> \\ <=>(x+y)(x-y)=-2(x-y). [/tex].
De aici reies 2 cazuri:
I. x=y
II. x+y=-2
Pentru primul caz notam a=x=y.
[tex] x^{2} -2y=-1 <=> a^{2}-2a=-1<=> a^{2} -2a+1=0 <=> (a-1)^{2}[/tex][tex]=0 => a-1=0 => a=1[/tex].
Deci x=y=1.
Din al doilea caz rezulta x=-2-y.
[tex] y^{2}-2x=-1 <=> y^{2} -2(-2-y)=-1 <=> y^{2}+4+2y=-1 [/tex][tex]<=> (y+1)^{2}+3=-1[/tex] <=> [tex]( y+1)^{2} =-4[/tex](Imposibil).
Deci acest caz nu admite solutii.
SOLUTIE: x=y=1.
