Voi rezolva de la ultima catre prima problema:
4). Numerele de forma 7xy (banuiesc ca era o bara deasupra) divizibile cu 15 = 3*5, inseamna ca sunt divizibile si cu 3, si cu 5.
Din criteriul de divizibilitate cu 5 rezulta ca y este 0 sau 5.
Din criteriul de divizibilitate cu 3 rezulta ca suma cifrelor numarului cautat trebuie sa fie divizibila cu 3.
Analizam cazurile:
a) daca y=0, numerele sunt de forma 7x0 si trebuie sa aiba suma cifrelor multiplu de 3.
Cum x este cifra, deci 0<= x<=9, adica 7<=7+x<=16,
deci 7+x apartine multimii {9, 12, 15}, de unde x ia valorile {2,5,8}
Numerele sunt: 720, 750, 780.
b) daca y=5, nr sunt de forma 7x5 si trebuie sa aiba de asemenea suma cifrelor multiplu de 3, adica 7+x+5=12+x sa fie multiplu de 3.
0<= x<=9, adica 7+5<=7+x+5<=7+9+5
12<=12+x<=21 , iar multiplii de 3 din acest interval sunt {12,15,18,21}, pentru care obtinem x apartine multimii {0, 3, 6, 9}
Numerele sunt: 705, 735, 765, 795
Solutia finala: 720, 750, 780, 705, 735, 765, 795.
3). Notam cu S=suma initiala
a) Dupa prima zi mai ramane cu [tex] \frac{S}{2} [/tex].
A doua zi a cheltuit [tex] \frac{1}{3}* \frac{S}{2} = \frac{S}{6}[/tex]
Dupa aceea i-au ramas, pentru a treia zi:
[tex] \frac{S}{2} - \frac{S}{6} = \frac{2*S}{6} = \frac{S}{3}[/tex]
reprezentat de cei 20 lei, adica 20 lei reprezinta o treime din suma initiala.
Deci S=20*3=60 lei este suma initiala
b) In prima zi a cheltuit
[tex] \frac{60}{2} =30 lei[/tex]
c) A doua zi a cheltuit
[tex] \frac{60}{6} =10 lei[/tex]
2. Notam u=Suplementul unghiului dat ( adica diferenta pana la 180 grade)
1 grad = 60 minute
u=180 grade - (25 grade si 47 minute)=
= 179 grade + 1 grad - 25 grade - 47 minute=
= 179 grade + 60 minute - 25 grade - 47 minute=
=(179-25) grade +(60-47) minute=154 gade si 13 minute
1. Notam cu a = numarul cautat.
Scriem teorema impartirii cu rest pentru impartirile date:
a=5*b+4
a=8*c+7
a=10*d+9
Observam ca daca adunam 1 in ambii membri la toate cele trei egalitati de mai sus, obtinem:
a+1=5*b+5=M5 (adica multiplu de 5)
a+1=8*c+8=M8
a+1=M10
Cum a se cere sa fie cel mai mic, inseamna ca si a+1 din relatiile de mai sus este cel mai mic, deci cautam cel mai mic multiplu comun al lui 5, 8 si 10, care este 40, deci
a+1=40, de unde
a=39.
