a=[tex] 1997^{4n+1} + 1999^{4n+1} + 2001^{n} + 2005^{2n} [/tex]
Cum U(n+m)=U(n)+U(m), analizam, pe rand, fiecare termen al sumei, folosind si faptul ca U([tex] x^{n} [/tex])=U( U(x)^{n} )[/tex].
Stim ca U(1 la orice putere)=1, deci
U(2001^{n})=U(1^{n})=1
Stim ca U(5 la orice putere)=5, deci
U(2005^{n})=U(5^{n})=5
Stim ca puterile lui 7 se repeta din 4 in 4, adica seturile de ultima cifra: 7, 9, 3, 1 pentru puteri de forma 4n+1, 4n+2, 4n+3, respectiv 4n, deci:
U(1997^{4n+1})=U(7^{4n+1})=7
Stim ca puterile lui 9 se repeta din 2 in 2, adica seturile de ultima cifra: 9, 1 pentru puteri de forma 2n+1, respectiv 2n, deci:
U(1999^{4n+1})=U(9^{4n+1})=U(9^{2*2n+1})=9
Deci
U(a)=U(7+9+1+5)=U(22)=2
La fel procedam pt b:
b=[tex] 12^{n} + 23^{n+1} + 34^{n+2} + 45^{n+3} [/tex]
doar ca analizam cazurile:
1) Daca n=4k:
U([tex] 12^{n} [/tex])=U([tex] 2^{4k} [/tex])=6
pentru ca ultima cf a puterilor lui 2 se repeta in seturi de 4: 2, 4, 8, 6 pentru puteri de forma 4k+1, 4k+2, 4k+3, respectiv 4k.
U([tex] 23^{n+1} [/tex])=U([tex] 3^{4k+1} [/tex])=3
pentru ca ultima cf a
puterilor lui 3 se repeta in seturi de 4: 3, 9, 7, 1 pentru puteri de
forma 4k+1, 4k+2, 4k+3, respectiv 4k.
U([tex] 34^{n+2} [/tex])=U([tex] 4^{4k+2} [/tex])=U([tex] 4^{2(2k+1)} [/tex])=6
pentru ca ultima cf a
puterilor lui 4 se repeta in seturi de 2: 4, 6 pentru puteri de
forma 2k+1, respectiv 2k.
U([tex] 45^{4k+3} [/tex])=5 cu explicatia de la nr a.
Deci U(b)=U(6+3+6+5)=U(20)=0
2) Daca n=4k+1:
U([tex] 12^{n} [/tex])=U([tex] 2^{4k+1} [/tex])=2
U([tex] 23^{n+1} [/tex])=U([tex] 3^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 34^{n+2} [/tex])=U([tex] 4^{4k+3} [/tex])=U([tex] 4^{2(2k+1)+1} [/tex])=4
U([tex] 45^{4k+3} [/tex])=5
Deci U(b)=U(2+9+4+5)=U(20)=0
3) Daca n=4k+2: U(b)=U(4+7+6+5)=U(22)=2
4) Daca n=4k+3: U(b)=U(8+1+4+5)=U(18)=8
