Răspuns :
Descompunem pe a in factori primi:
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16 = 2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13
√(2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13) = 2⁷ × 3⁴ × 5 × 7 × √(2 × 5 × 11 × 13)
=> a este numar irational
Pentru a fi rational, b trebuie sa aiba valoarea:
b = 2 × 5 × 11 × 13
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16 = 2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13
√(2¹⁵ × 3⁸ × 5³ × 7² × 11 × 13) = 2⁷ × 3⁴ × 5 × 7 × √(2 × 5 × 11 × 13)
=> a este numar irational
Pentru a fi rational, b trebuie sa aiba valoarea:
b = 2 × 5 × 11 × 13
[tex]\sqrt{ab}=\\ \sqrt{2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5 \cdot (2 \cdot 3)\cdot 7\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot (2\cdot 5)}\cdot\\ \sqrt{\cdot 11\cdot (3\cdot 2^2)\cdot 13\cdot (2\cdot 7)\cdot (3 \cdot 5)\cdot 2^4\cdot b}=\\ \\ =\sqrt{2^{15}\cdot 3^{6}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot b}=\\ \\ =2^7\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\sqrt{2\cdot 5\cdot 11\cdot 13\cdot b}[/tex]
Pentru ca radicalul sa fie rational, trebuie ca:
[tex]b=\dfrac{1}{2\cdot 5\cdot 11\cdot 13}[/tex]
asta fiind valoarea minima a lui b.
COMPLETARE:
Mai exact, radicalul acela e rational pentru oricare b de forma:
[tex]b=\dfrac{1}{(2\cdot 5\cdot 11\cdot 13)^{2k+1}}[/tex]
Iar b este minim atunci cand [tex]k\rightarrow \infty[/tex]
Pentru ca radicalul sa fie rational, trebuie ca:
[tex]b=\dfrac{1}{2\cdot 5\cdot 11\cdot 13}[/tex]
asta fiind valoarea minima a lui b.
COMPLETARE:
Mai exact, radicalul acela e rational pentru oricare b de forma:
[tex]b=\dfrac{1}{(2\cdot 5\cdot 11\cdot 13)^{2k+1}}[/tex]
Iar b este minim atunci cand [tex]k\rightarrow \infty[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!