Răspuns :
[tex]a=13^1+13^2+13^3+ \hdots +13^{2014} \\ a) \\ 13 = numar~impar \\ \text{Un numar impar ridicat la orice putere, rezulta tot numar impar} \\ \text{Din sirul exponentilor lui 13, observam ca suma are 2014 termeni.} \\ Dar ~ 2014 = numar~par. \\ \text{O suma formata dintr-un numar par de termeni impari, este para} \\ \Longrightarrow ~~ a = numar~par \\ ----------- [/tex]
[tex]b) \\ a= 13^1 + 13^2 +13^3 +13^4 +\hdots+13^{2013} +13^{2014} \\ \text{Observam ca suma primilor 2 termeni este multiplu lui 14.} \\ 13 + 13^2 = 13(1+13) = 13 \times 14 ~ \vdots ~ 14 \\ \text{Vom grupa suma in grupe de cate 2 termeni.} \\ \text{Avem dreptul deoarece avem un numar par de termeni.} \\ a= 13^1 + 13^2 +13^3 +13^4 +\hdots+13^{2013} +13^{2014} = \\ = (13^1 + 13^2) +(13^3 +13^4) +\hdots+(13^{2013} +13^{2014}) = [/tex]
[tex]= 13(1 + 13) +13^3(1 +13) +\hdots+13^{2013}(1 +13) = \\ = 13(1 + 13) +13^3(1 +13) +\hdots+13^{2013}(1 +13) = \\ =(1+13)(13+13^3+13^5 + \hdots 13^{2013}) = \\ =14(13+13^3+13^5 + \hdots 13^{2013}) ~\vdots~14 \\ cctd[/tex]
a= 13+ 13²+ 13³+ ...
+ 13²⁰¹⁴
1. a= nr. par
2. a : 14
2. P₁: Se scoate factor comun pe 13, apoi pe 13² ... din fiecare doi termeni.
a=13¹·( 13⁰ + 13¹)+ 13²·( 13⁰+ 13) +... + 13²⁰¹³ ·( 13⁰+ 13)
P₂: Se adună cei doi termeni din paranteză.
a=13¹·14+ 13²·14 +... + 13²⁰¹³ ·14
P₃: Se scoate factor comun pe 14.
a=14· (13¹+ 13²+... + 13²⁰¹³)
P₄: Se analizează produsul.
a=14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³) ,
dacă 14 :14 , atunci 14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³) : 14
1. a= nr. par ?
. u( 13²⁰¹³)= ?
P₁. Se descoperă nr. de repetări!
13¹= 13
13²= 169
13³= ...7
13⁴= .. ...1 nr. de repetări= 4
13⁵= ..................3
P₂. Se împarte exponentul sau puterea la nr. de repetări!
2 013::4= 503( r.1)
P₃. Se fixează ultima cifră. Exponentul este dat de puterea restului!
u(13⁰)= 1
REGULĂ! Se împarte exponentul la nr. de repetări; ultima cifră a nr. este dată de ultima cifră a nr. aflat PUTEREA RESTULUI.
CONCLUZII!
a= 14·( 13¹+ 13²+ 13³+ 13⁴ + ... + 13²⁰¹³)
Se ia în calcul doar ultima cifră a fiecărui termen.
a= 14·( ...3+... 9 + ... 7+ ,,, + 1+ ... 3+ ... 9+ ... 7+ ... 1 + ....+ ..... 1)
Se observă acea repetare de 4 şi stabilirea ultimei cifre din şir.
1. mp. +imp= par(3+ 9= 12)
2. par+ imp= imp,( 12+ 7= 19)
3.imp+ imp= par (19+ 1= 20)
--------------------------------------
2013. imp.+ par= par
a=14 · ... 0 ⇒ nr. par ·nr. par= nr. par , a= nr. par
1. a= nr. par
2. a : 14
2. P₁: Se scoate factor comun pe 13, apoi pe 13² ... din fiecare doi termeni.
a=13¹·( 13⁰ + 13¹)+ 13²·( 13⁰+ 13) +... + 13²⁰¹³ ·( 13⁰+ 13)
P₂: Se adună cei doi termeni din paranteză.
a=13¹·14+ 13²·14 +... + 13²⁰¹³ ·14
P₃: Se scoate factor comun pe 14.
a=14· (13¹+ 13²+... + 13²⁰¹³)
P₄: Se analizează produsul.
a=14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³) ,
dacă 14 :14 , atunci 14· (13¹+ 13²+ ... + 13²⁰¹³) : 14
1. a= nr. par ?
. u( 13²⁰¹³)= ?
P₁. Se descoperă nr. de repetări!
13¹= 13
13²= 169
13³= ...7
13⁴= .. ...1 nr. de repetări= 4
13⁵= ..................3
P₂. Se împarte exponentul sau puterea la nr. de repetări!
2 013::4= 503( r.1)
P₃. Se fixează ultima cifră. Exponentul este dat de puterea restului!
u(13⁰)= 1
REGULĂ! Se împarte exponentul la nr. de repetări; ultima cifră a nr. este dată de ultima cifră a nr. aflat PUTEREA RESTULUI.
CONCLUZII!
a= 14·( 13¹+ 13²+ 13³+ 13⁴ + ... + 13²⁰¹³)
Se ia în calcul doar ultima cifră a fiecărui termen.
a= 14·( ...3+... 9 + ... 7+ ,,, + 1+ ... 3+ ... 9+ ... 7+ ... 1 + ....+ ..... 1)
Se observă acea repetare de 4 şi stabilirea ultimei cifre din şir.
1. mp. +imp= par(3+ 9= 12)
2. par+ imp= imp,( 12+ 7= 19)
3.imp+ imp= par (19+ 1= 20)
--------------------------------------
2013. imp.+ par= par
a=14 · ... 0 ⇒ nr. par ·nr. par= nr. par , a= nr. par
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!