👤
a fost răspuns

Numarul maxim de plane distincte
determinat de 10 puncte este? Vreau sa imi rezolvati problema cu cateva explicatii

Răspuns :

GETATOTANVIZ
puncte A₁  , A₂ ,A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆ .A₇ .A₈ ,A₉ , A₁₀ 
plan =  3 puncte distincte 
punctele         A₁  si A₂  , cu cele  8 puncte formeaza        ; 8 plane 
             A₁A₂A₃ ; A₁A₂A₄ ; ..............A₁A₂A₁₀
punctele  A₁A₃           cu cele 7 puncte formeaza                7 plane 
                   fara   A₂
punctele A₁A₄ , fara A₂  si  A₃                                             6 plane 
punctele A₁A₅  , fara  A₂,A₃ ,A₄                                           5 plane 
punctele  A₁A₆ , fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅                                   4 plane 
punctele A₁A₇ , fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆                                3 plane
punctele A₁A₈   fara  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ , A₆ , A₇                         2 plane 
punctele A₁A₉A₁₀                                                                 1 plan 
⇒                                                                           36 plane  
fara A₁  , celelalte  9  puncte formeaza                    28 plane 
fara A₁ , A₂ celelalte 8 puncte formeaza                     21 plane 
fara A₁ ,A₂ , A₃          7                                                15 plane
 fara A₁ ,A₂,A₃ ,A₄      6                                            10 plane 
fara  A₁ ,A₂ ,A₃,A₄ ,A₅         5 puncte                       6 plane
  fara A₁ ,A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅,A₆       4 puncte                      3 plane 
  fara A₁ ,  A₂ , A₃ ,A₄ ,A₅ ,A₆ ,A₇     3 puncte               1 plan
total = 120 plane
ALBASTRUVERDE12VIZ
[tex]Se~stie~ca~oricare~trei~puncte~sunt~coplanare. \\ \\ Pentru~ca~numarul~de~plane~determinate~de~cele~10~puncte~sa~fie~ \\ \\ maxim,~punctele~trebuie~sa~fie~PATRU~CATE~PATRU \\ \\ NECOPLANARE.\\ \\ In~aceste~conditii~raspunsul~cerut~de~problema~este~C^3_{10}= \frac{10!}{3! \cdot 7!}=120. \\ \\ C^3_{10}=combinatii~de~cate~10~luate~cate~3. \\ \\ n!=1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n,~iar~0!=1. [/tex]

[tex]Stiu~ca~aceste~"combinatii~de~cate~n,~luate~cate~k"~depaseste~ \\ \\ nivelul~(chiar~si~pentru~mine),~asa~ca~o~sa~prezint~o~metoda~de \\ \\ a~calcula~"combinatiile~de~cate~10~luate~cate~3". \\ \\ O~astfel~de~combinare~este~de~tipul~(A_i,A_j,A_k),~unde~ \\ \\ i,j,k \in \{1,2,...,10\},~punctele~considerate~fiind~A_1,A_2,...,A_{10}. \\ \\ (Evident~i \neq j ,~ j \neq k ~si~ k \neq i). [/tex]

[tex]i~poate~lua~10~valori \\ \\ k~poate~lua~9~valori~(k \neq i) \\ \\ j~poate~lua~8~valori~( j \neq k~si~ j \neq i)\\ \\ Deci~exista~10 \cdot 9 \cdot 8=720~astfel~de~perechi,~DAR~astfel~fiecare \\ \\ triplet~a~fost~numarat~de~6~ori \Rightarrow exista~720:6=120~triplete~ \\ \\ distincte,~deci~si~120~de~plane~distincte. [/tex]


Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari