1) presupunem ca un numar din cele 5 nu este divizibil cu 5
5a, 5b, 5c, 5d, e
cand grupam 5a+5b+5c+e=5(a+b+c)+e
daca e nu e divizibil cu 5 atunci nici suma nu este divizibila cu 5
2) presupunem ca 2 numere nu sunt divizibile cu 5, d si e, d+e divizibil cu 5
daca le luam impreuna pe d si e nr e divizibil cu 5
daca luam doar pe d sau doar pe e numarul nu mai este divizibil cu 5
5a+5b+5c+d=5(a+b+c)
3) presupunem ca 3 numere nu sunt divizibile cu 5, d,e si c.
d+e+c divizibil cu 5 - contradictie la nr 5a+5b+d+e
sau
d+e, d+c, e+c divizibil cu 5 - contradictie la nr 5a+c+d+e
4) presupunem ca 4 numere nu sunt divizibile cu 5, b, c, d, e.
b+c+d+e divizibil cu 5 - contradictie la nr 5a+b+c+d
b+c+d divizibil cu 5 - contradictie la nr b+c+d+e
b+c, d+e divizibil cu 5 - contradictie la nr 5a+b+c+d
5) daca nici un numar nu este divizibil cu 5
daca a+b+c+d divizibil cu 5 si a+b+c+e divizibil cu 5
atunci numarul a+b+d+e nu este divizibil cu 5 pentru ca 5:2 nu este numar natural ca d si e sa verifice a treia ecuatie.
