Segmentul are capetele în punctele [tex]A(1,0), \ B(e,1)[/tex]
Ecuația dreptei AB este: [tex]\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\Rightarrow y=\frac{x-1}{e-1}[/tex]. Funcția care are graficul acest segment este [tex]g(x)=\frac{x-1}{e-1}[/tex]. Graficul funcției f este deasupra graficului funcției g pe intervalul [tex][1,e][/tex].
Atunci aria este [tex]\int_1^e\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_1^e\left{\ln x-\displaystyle\frac{x-1}{e-1}\right)dx=\int_1^e\ln xdx-\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx[/tex].
Avem [tex]\int_1^e\ln xdx=\int_1^ex'\ln xdx=\left. x\ln x\right|_1^e-\int_1^ex\cdot\frac{1}{x}dx=e-\left. x\right|_1^e=e-e+1=1[/tex].
[tex]\int_1^e\frac{x-1}{e-1}dx=\left. \frac{(x-1)^2}{2(e-1)}\right|_1^e=\frac{e-1}{2}[/tex].
Atunci aria este [tex]1-\frac{e-1}{2}=\frac{3-e}{2}[/tex]
