👤
METALBRAINVIZ
a fost răspuns

[tex] \lim_{t \to \infty} \int\limits^t_1 { \frac{1}{ x ( x^{2} +1)} } \, dx [/tex]

Răspuns :

C10H15NVIZ
Rezolvăm mai întâi integrala, descompunând-o în fracţii simple:

[tex] \frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}+1} = \frac{Ax^{2}+A+Bx}{x(x^2+1)}[/tex]

La numărător trebuie să avem 1:

[tex]Ax^{2}+A+Bx = 1\\ => A=1 \ si \ B=-x[/tex]

Având A-ul şi B-ul, integrala iniţială va fi de forma:

[tex] \int\limits^t_1 {\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}} \, dx = \int\limits^t_1 {\frac{1}{x} - \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}}[/tex]

Le luăm separat:

[tex]\int\limits^t_1 {\frac{1}{x} \ dx = lnx \ |^{t}_{1} = ln \ t[/tex]

[tex]- \int\limits^t_1 \frac{x}{x^{2}+1}} = - \frac{1}{2}\int\limits^t_1 \frac{2x}{x^{2}+1}}[/tex]

notăm [tex]x^{2}+1=y[/tex] <=> [tex]2x \ dx = dy[/tex]

=> [tex] -\frac{1}{2} ln (x^{2} +1) |^{t}_{1} = -\frac{1}{2} ln (t^{2} +1) - \frac{1}{2}ln2[/tex]

După ce aducem totul la o formă mai convenabilă, o să avem:

[tex] \lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}}[/tex]

Limită din ln este egală cu ln din limită. Evident, limita la acea fracţie este 1 (grad 1 pe grad 1):

[tex]\lim_{t \to \infty} ln \frac{t+\sqrt{2}}{\sqrt{t^2+1}} = ln \ 1 = 0[/tex]




Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari