👤
a fost răspuns

1.Fie a= [tex] 1^{33} [/tex] + [tex] 4^{34} [/tex] + [tex] 7^{35} [/tex] . Aflati ultima cifra a numarului a.

2. Fie S= [tex] 2^{0} [/tex] + [tex] 2^{1} [/tex] + [tex] 2^{2} [/tex] + [tex] 2^{3} [/tex] + ... + [tex] 2^{99} [/tex]
a) Demonstrati ca S se divide cu 15
b) Aratati ca S are cel putin 30 de cifre.

Răspuns :

ALBASTRUVERDE12VIZ
[tex]1.~A=1^{33}+4^{34}+7^{35}=1+4^{34}+7^{35}. \\ \\ 4^n~(n \in N^*)~are~ultima~cifra~4~daca~n~este~impar,~si~6~daca~n~este \\ par.~ \\ \\ Deci ~4^{34} ~are~ ultima ~cifra ~egala~cu~6. \\ \\ 7^m~(m \in N^*)~are~ultima~cifra~egala~cu: \\ -7,~daca~m=M_4+1 \\ -9,~daca~m=M_4+2 \\ -3,~daca~m=M_4+3 \\ -1,~daca~m=M_4 \\ \\ 35=4 \cdot 8+3 = M_4+3 \Rightarrow U_{(7^{35})} =3. \\ \\ [/tex]

[tex]1+3+6=10,~deci~U_{(N)}=0. \\ \\ *U_{x} ~reprezinta~ultima~cifra~a~numarului~natural~x.[/tex]

[tex]2.~ \\ S=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{99}= \\ ~~~=(2^0+2^1+2^2+2^3)+2^4(2^0+2^1+2^2+2^3)+...+ \\ +2^{96} (2^0+2^1+2^2+2^3)= \\ ~~~=(2^0+2^1+2^2+2^3)(1+2^4+2^8+...+2^{96})= \\ ~~~=15 \cdot (1+2^4+2^8+...+2^{96}) \Rightarrow S ~\vdots~15.[/tex]

[tex]S=1+2+2^2+2^3+...+2^{100}= \\ \\ ~~~= \frac{2^{101}-1}{2-1}= \\ \\ ~~~=2^{101}-1. \\ \\ Avem~de~demonstrat~ca~2^{101}-1~are~cel~putin~30~de~cifre . \\ \\ S\ \textgreater \ 2^{100}-1=(2^{10})^{10}-1=1024^{10}-1\ \textgreater \ 1000^{10}-1=10^{30}-1. \\ \\ S\ \textgreater \ 10^{30}-1 \Rightarrow S~are~cel~putin~30~de~cifre.[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari