Răspuns :
[tex]f(x)=x^3+x^2+mx+m[/tex]
Din teorema lui Bezout, daca f se divide cu x+1 inseamna ca -1 este solutie a polinomului, adica
[tex]f(-1)=0[/tex]
Verificam
[tex]f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m(-1)+m=-1+1-m+m=0[/tex]
Am demonstrat ca -1 este solutie deci polinomul se divide cu x+1.
Pentru partea a doua screim primele 2 relatii ale lui Viette:
[tex]S_1=x_1+x_2+x_3=-1[/tex]
[tex]S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m[/tex]
Pentru a calcula [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2[/tex]
vom calcula [tex]S_1^2-2S_2[/tex]
adica
[tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2 =(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)[/tex]
Deci [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1-2m[/tex]
Problema ne impune ca [tex]-1-2m=11[/tex] deci [tex]m=-6[/tex]
Din teorema lui Bezout, daca f se divide cu x+1 inseamna ca -1 este solutie a polinomului, adica
[tex]f(-1)=0[/tex]
Verificam
[tex]f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+m(-1)+m=-1+1-m+m=0[/tex]
Am demonstrat ca -1 este solutie deci polinomul se divide cu x+1.
Pentru partea a doua screim primele 2 relatii ale lui Viette:
[tex]S_1=x_1+x_2+x_3=-1[/tex]
[tex]S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m[/tex]
Pentru a calcula [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2[/tex]
vom calcula [tex]S_1^2-2S_2[/tex]
adica
[tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2 =(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)[/tex]
Deci [tex]x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1-2m[/tex]
Problema ne impune ca [tex]-1-2m=11[/tex] deci [tex]m=-6[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!