Răspuns :
Pentru f : R -> R, f(x)= [tex] x^{2} -2(m-1)x +m+5[/tex]
Avem o functie de gradul 2 adica f(x)=[tex]a x^{2} +bx +c[/tex] iar in cazul nostru avem a=1; b= -2(m-1) si c= m+5
Si discriminantul notat Δ= [tex] b^{2} -4ac[/tex]
O functie de gradul 2 este mai mare sau egala decat 0 oricare ar fi x∈R daca se indeplinesc simultan urmatoarele conditii:
1) a>0 Adevarat pentru functia noastra deoarece a=1
2) Δ≤0
Calculam Δ= [tex] [-2(m-1)]^{2} = 4(m-1)^{2}=4(m^{2} -2m +1)= 4m^{2}-8m+4[/tex]
Trebuie aflat m astfel incat Δ≤0
adica [tex]4m^{2}-8m+4 [/tex]
Obtinem asadar o noua functie de gradul 2 cu variabila m, si trebuie aflat pentru ce valori ale lui m functia capata valori mai mici sau egale cu 0.
Calculam noul discriminant notat Δ' al functiei nou obtinute.
Δ'= [tex] (-8)^{2} -4*4*4=64-64=0[/tex]
Radacinile functiei sunt [tex]m_{1} = \frac{8- \sqrt{0} }{2*4} = 1[/tex]
si [tex]m_{2} = \frac{8+ \sqrt{0} }{2*4} = 1[/tex]
Adica are o singura radacina si anume 1.
Functia noua are semnul opus coeficientului lui m (adica -) pana la radacina gasita, si semnul coeficientului lui m (adica +) dupa radacina (exprimarea pana la radacina si dupa radacina inseamna ordinea lor pe abscisa).
Pe noi ne intereseaza ca functia sa fie mai mica sau egala cu 0 adica sa aiba semnul -, si asta se intampla cand m se plimba de la -∞ pana la radacina, adica pana la 1.
Raspunsul final este m∈(-∞,1].
Punem interval inchis la unu deoarece functia poate fi egala si cu 0.
Avem o functie de gradul 2 adica f(x)=[tex]a x^{2} +bx +c[/tex] iar in cazul nostru avem a=1; b= -2(m-1) si c= m+5
Si discriminantul notat Δ= [tex] b^{2} -4ac[/tex]
O functie de gradul 2 este mai mare sau egala decat 0 oricare ar fi x∈R daca se indeplinesc simultan urmatoarele conditii:
1) a>0 Adevarat pentru functia noastra deoarece a=1
2) Δ≤0
Calculam Δ= [tex] [-2(m-1)]^{2} = 4(m-1)^{2}=4(m^{2} -2m +1)= 4m^{2}-8m+4[/tex]
Trebuie aflat m astfel incat Δ≤0
adica [tex]4m^{2}-8m+4 [/tex]
Obtinem asadar o noua functie de gradul 2 cu variabila m, si trebuie aflat pentru ce valori ale lui m functia capata valori mai mici sau egale cu 0.
Calculam noul discriminant notat Δ' al functiei nou obtinute.
Δ'= [tex] (-8)^{2} -4*4*4=64-64=0[/tex]
Radacinile functiei sunt [tex]m_{1} = \frac{8- \sqrt{0} }{2*4} = 1[/tex]
si [tex]m_{2} = \frac{8+ \sqrt{0} }{2*4} = 1[/tex]
Adica are o singura radacina si anume 1.
Functia noua are semnul opus coeficientului lui m (adica -) pana la radacina gasita, si semnul coeficientului lui m (adica +) dupa radacina (exprimarea pana la radacina si dupa radacina inseamna ordinea lor pe abscisa).
Pe noi ne intereseaza ca functia sa fie mai mica sau egala cu 0 adica sa aiba semnul -, si asta se intampla cand m se plimba de la -∞ pana la radacina, adica pana la 1.
Raspunsul final este m∈(-∞,1].
Punem interval inchis la unu deoarece functia poate fi egala si cu 0.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!