Problema 10
[tex] A_{ABC}= \frac{AC*BC}{2}= \frac{3*4}{2}= \frac{12}{2}=6
[/tex]
[tex]tgA = \frac{BC}{AC}= \frac{4}{3}
[/tex]
[tex]tg CAD =tg DAB = \frac{4}{3} * \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} [/tex]
[tex]tri.ACD = ctg CAD = \frac{CD}{AC}= \frac{2}{3}= \frac{CD}{3}= 2
[/tex]
[tex]A_{ACD}= \frac{AC*CD}{2}= \frac{3*2}{2}=3
[/tex]
[tex]A_{ADB}= A_{ABC}- A_{ACD}=6-3=3 [/tex]
A treia problema
Pparal=2*(l+L)=24 -> L+l=12 cm (relatia 1)
Si Ptriunghi=2l+L=18cm (relatia 2).
Mai departe iti las tie sa rezolvi
PS. Din ipoteza rezulta ca ABD este isoscel, deci AB=BD (si =CD)
A doua problema
Sa faci un desen. Fie ABCD trapez, (AB||CD, AB>CD) M mijlocul lui AD,
N mijlocul lui BC, O centrul cercului inscris. raza cercului inscris
sa fie r, AD = BC = a, inaltimea trapezului fiind 2r (diametrul cercului inscris)Atunci 10 = MN = (AB + CD)/2 => AB+CD=20CM
[tex]A_{MNCD} [/tex]= (MN+CD)*r/2 = (CD+10)*r/2, ariaABNM = (AB + MN)*r/2 = (AB + 10)*r/2 , dar aria MNCD/
aria ABNM = 2/3 =>
(CD + 10)*r/2
= 2/3, adica (CD+10)/(AB+10) = 2/3 => (CD+10+AB+10)/(AB+10) =
(2+3)/3 => 40/(AB+10) = 5/3 , de unde 5*(AB+10) = 4*30 => 5AB = 70
=> AB = 14cm, atunci CD = 20-14 = 6cm
Se vede ca MNCD se descompune in triunghiurile congruente DOM si CON si in triunghiul DOC, toate cu inaltimi de lungimea r (distanta de la O la MD, DC si CN este raza cercului, adica r)
Atunci ariaMNCD = 2*AMOD + ADOC = 2*[(a*r/2)/2] + DC*r/2 = (r/2)*(a + DC) = (r/2)*(a + 6) si ariaABNM = (AB+MN)*r/2 = (r/2)*24
CUM
AABNM = 2/3 => [
(r/2)*(a + 6)
]/[
(r/2)*24
] = 2/3 => (a+6)/24 = 2/3 => 3*(a+6) = 2*24, de unde 3a = 30 => a = 10cm, deci
in trapezul ABCD avem: AB = 14cm, CD = 6cm, AD = BC = 10cm, mai trebuie
calculat inaltimea (diametrul cercului). Fie CC'_|_AB, C' e AB, atunci C'B=(AB-DC)/2 = (14-6)/2 = 4cm. In triunghiul dreptunghic CC'B: CC'2 = BC2 - BC'2 = 100 - 16 = 84 => CC' = radical(84) = 2*radical(21) adica 2r = 2*rad(21)cmAria trapezului: AABCD = (AB + CD)*2r/2 = 20*2*rad(21)/2 = 20*radical(21)cm2
Toate bune!
