Daca numarul natural k indeplineste conditia
[tex]n^2\leq k^2\leq2n^2\Rightarrow n\leq k\leq n\sqrt2, \ deci\ f(n)[/tex]
este numarul de numere naturale ce se afla in intervalul
[tex][n,n\sqrt2][/tex] , adica
[tex]f(n)=[n\sqrt2]-n+1\Rightarrow f(n)=[n+(\sqrt2-1)n]-n+1\Rightarrow[/tex]
[tex]f(n)=[(\sqrt2-1)n]+1[/tex]
.
Demonstram ca este crescătoare:
Luam doua numere naturale [tex]n_1<n_2[/tex]. Atunci:
[tex](\sqrt2-1)n_1<(\sqrt2-1)n_2\Rightarrow[(\sqrt2-1)n_1]\leq[(\sqrt2-1)n_2]\Rightarrow [/tex]
[tex]\Rightarrow f(n_1)\leq f(n_2)\ deci \ f\ este \ crescatoare.[/tex]
Demonstram surjectivitatea:
Fie [tex]y\in N^*[/tex]. Trebuie sa aratam ca exista macar un [tex]n\in N^*[/tex] astfel ca f(n)=y.
[tex]y=f(n)\Leftrightarrow y=[(\sqrt2-1)n]+1\Leftrightarrow y-1=[(\sqrt2-1)n] \Leftrightarrow [/tex]
[tex]\Leftrightarrow y-1\leq(\sqrt2-1)n<y\Leftrightarrow \dfrac{y-1}{\sqrt2-1}\leq n<\dfrac{y}{\sqrt2-1}[/tex]
Adica n trebuie sa fie un numar natural (nenul) din intervalul:
[tex]\left[\dfrac{y-1}{\sqrt2-1};\dfrac{y}{\sqrt2-1}\right)[/tex]. Lungimea acestui interval este :
[tex]\dfrac{y-1}{\sqrt2-1}-\dfrac{y}{\sqrt2-1}=\dfrac{1}{\sqrt2-1}>1[/tex]
deci sigur intervalul contine cel putin un numar natural, adica exista acel n cautat. Functia este deci surjectiva.
