Răspuns:
Aria triunghiului este de 1200 centimetri pătrați.
Rezolvare:
Fie ΔABC, m (∡BAC) = 90°
[AB] = a, [AC] = b, [BC] = c
[tex]\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{3}{4}}[/tex]
⇒ a × 4 = b × 3
⇒ [tex]\displaystyle{a=\frac{3b}{4}}[/tex]
m (∡BAC) = 90° ⇒ a² + b² = c²
[tex]\displaystyle{(\frac{3b}{4})^{2}+b^{2}=50^{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{9b^{2}}{16}+b^{2}=2500}[/tex]
9b² + 16b² = 2500 × 16
b² × (9 + 16) = 40.000
25b² = 40.000
b² = 40.000 ÷ 25
b² = 1600
b = [tex]\sqrt{1600}[/tex]
[tex]\boxed{b=40cm}[/tex]
[tex]\displaystyle{a=\frac{3\times 40}{4}}[/tex]
[tex]\displaystyle{a=\frac{120}{4}}[/tex]
[tex]\boxed{a=30 cm}[/tex]
ΔABC, m (∡BAC) = 90° ⇒ Aria ΔABC = [AB] × [AC] = a × b
Aria = 30 × 40 cm²
[tex]\boxed{Aria = 1200 cm ^{2}}[/tex]
Explicație:
- Am notat triunghiul cu ABC și am considerat că unghiul A este cel drept, prin urmare [AB] și [AC] vor fi catetele iar [BC] va fi ipotenuza.
- Am notat pe [AB] cu a, [AC] cu b și [BC] cu c, ca să îmi vină mai ușor la calcule.
- Cunosc raportul dintre a și b, așa că am înmulțit pe diagonală (mezii cu extremii) apoi am scris pe a în funcție de b.
- Întrucât triunghiul este dreptunghic, am folosit Teorema lui Pitagora - Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
- L-am înlocuit pe a cu 3b supra 4 în sumă.
- Am ridicat la pătrat fracția, folosindu-mă de formula ([tex]\frac{a}{b}[/tex])² = [tex]\frac{a^{2}}{b^{2}}[/tex]
- Am înmulțit tot rândul cu 16, ca să scap de fracție.
- Am dat factor comun pe b² și am aflat valoarea lui b.
- Am aflat apoi valoarea catetei a din raportul dat de problemă.
- Am calculat aria triunghiului, folosindu-mă de formula că aria unui triunghi dreptunghic este egală cu produsul dintre cele două catete.
- Lumberjack25
