a)
Conservarea energiei impune:
[tex]\dfrac{mv_0^2}{2}=mgh+F_fd[/tex]
Dar distanta pe care actioneaza forta de frecare se poate scrie in functie de inaltime:
[tex]d=\dfrac{h}{\sin \alpha}.[/tex]
Iar forta de frecare este [tex]F_f=\mu N=\mu mg\cos\alpha.[/tex]
Inlocuim in ecuatia de mai sus si gasim inaltimea:
[tex]\dfrac{mv_0^2}{2}=mgh+\mu mg\cos\alpha \dfrac{h}{\sin\alpha}\\ \\ \\ h=\dfrac{v_0^2}{2g\left(1+\mu \text{ctg} \alpha}\right)}.[/tex]
b)
Revenind la baza, lucrul mecanic efectuat de forta de frecare se dubleaza.
Aplicand din nou legea conservarii energiei in noua situatie, avem:
[tex]\dfrac{mv_0^2}{2}=2F_fd+\dfrac{mv^2}{2}[/tex]
Folosind datele anterioare, aflam viteza la baza planului:
[tex]mv_0^2=4\mu mgh\ \text{ctg}\alpha+mv^2\\ \\ v=\sqrt{v_0^2-4\mu gh\ \text{ctg}\alpha}.[/tex]
c)
Aflam acceleratia tangentiala planului aplicand legea a doua:
[tex]G_t-F_f=ma\\ \\ mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=ma \\ \\ a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha ).[/tex]
Stim ca viteza la baza planului este descrisa si de formula:
[tex]v=at_c[/tex]
De aici, aflam timpul:
[tex]t_c=\dfrac{v}{a}.[/tex]
