Am atasat desenul.
Fie ABCD trapezul isoscel cu AD=BC si O=intersectia diagonalelor perpendiculare AC si BD.
In trapezul isoscel unghiurile alaturate azelor sunt congruente, diagonalele sunt congruente si e usor de demonstrat ca OA=OB=x, respectiv OC=OD=y (iti explic, daca este nevoie).
In triunghiul dreptunghic isoscel ΔAOB avem, cu Teorema lui Pitagora:
AB=[tex]x \sqrt{2} [/tex]
In triunghiul dreptunghic isoscel ΔDOC avem, cu Teorema lui Pitagora:
CD=[tex]y \sqrt{2} [/tex]
Linia mijlocie in trapez este egala cu semisuma bazelor, deci:
MN=[tex] \frac{x \sqrt{2} +y \sqrt{2} }{2} [/tex], deci
MN=[tex] \frac{(x+y) \sqrt{2} }{2} [/tex] =21 cm
Construim AA' si BB' perpendiculare pe CD, deci ABB'A' dreptunghi, cu
AB=A'B'=[tex]x \sqrt{2} [/tex]
deci
A'D=B'C = [tex] \frac{CD-A'B'}{2} [/tex] = [tex] \frac{y-x}{ \sqrt{2} } [/tex]
In ΔAOD dreptunghic in O aplicam Teorema lui Pitagora:
[tex] AD^{2} = AO^{2} + OD^{2} [/tex] adica
[tex] AD^{2} = x^{2} + y^{2} [/tex]
Notam cu h inaltimea trapezului si aplicam Teorema lui Pitagora in ΔAA'D dreptunghic in A':
[tex] h^{2} = AD^{2} - A'D^{2} [/tex]
[tex] h^{2} = x^{2} + y^{2} - ( \frac{y-x}{ \sqrt{2} } )^{<span class="_wysihtml5-temp-placeholder"></span>2} [/tex]
h = [tex] \frac{x+y}{ \sqrt{2} } [/tex] = 21 cm
Aria trapezului ABCD=h*MN= [tex] 21^{2} [/tex] = 441 [tex] cm^{2} [/tex]
