A=[tex] 1^{2014n} [/tex]+[tex] 2^{2014n} [/tex]+[tex] 3^{2014n} [/tex]+ ... +[tex] 2014^{2014n} [/tex]
Calculam ultima cifra a lui A.
Daca neste numar impar, adica n=2p+1, cu p nr nat, atunci:
2014=4*503+2, deci
2014n=(4*503+2)(2p+1)=4*503*2p+4*503+4p+2=M4+2 este de forma 4k+2 si calculam ultima cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere de forma 4k+2.
U([tex] 1^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 3^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 4^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k+2} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k+2} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k+2} [/tex])=9
U([tex] 8^{4k+2} [/tex])=4
U([tex] 9^{4k+2} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k+2} [/tex])=0
Cum 2014=10*201+4 inseamna ca
U(A)=U( [201(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+1+4+9+6] )=
=U(U( 201)*U(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)+U(1+4+9+6))=U(5+0)=5, deci A este multiplu de 5 pentru orice n nr natural nenul impar.
Daca n este nr nat par, adica n=2p, cu p nr nat nenul, atunci
2014n=2014*2p=4*1007p=M4 si calculam ultim cifra a numerelor de la 1 la 2014 ridicate la putere egala cu multiplu de 4:
U([tex] 1^{4k} [/tex])=1
U([tex] 2^{4k} [/tex])=6
U([tex] 3^{4k} [/tex])=1
U([tex] 4^{4k} [/tex])=6
U([tex] 5^{4k} [/tex])=5
U([tex] 6^{4k} [/tex])=6
U([tex] 7^{4k} [/tex])=1
U([tex] 8^{4k} [/tex])=6
U([tex] 9^{4k} [/tex])=1
U([tex] 10^{4k} [/tex])=0
U(A)=U( [201(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6] )=
=U(U( 201)*U(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+U(1+6+1+6))=U(1*3+14)=7, deci A NU este multiplu de 5, oricare ar fi n nr natural nenul par.
