Ai desenul atasat.
Pentru Fig.1:a) In interiorul patratului, un mod de a obtine triunghiul AEB dreptunghic isoscel (cu m(<AEB)=90 grade si AE=EB) este luand {E}=AC intersectat cu BD, adica E este punctul de intersectie al diagonalelor. Acestea se injumatatesc si notam a=AE=EB=EC=ED. Aplicam teorema lui Pitagora in ΔAEB:
[tex] AB^{2} = a^{2} + a^{2} [/tex]
[tex] 2^{2} = a^{2} + a^{2} [/tex]
a=[tex] \sqrt{2} [/tex] cm, deci
DE=[tex] \sqrt{2} [/tex] cm
b) Observam ca diagonalele impart patratul in 4 triunghiuri dreptunghice congruente (deoarece diagonalele patratului sunt perpendiculare si se injumatatesc, deci avem cazul C.C.) si deci au arii egale cu un sfert din aria patratului, deci:
Aria ΔCBE=2*2:4=1 [tex] cm^{2} [/tex]
c) Perimetrul ΔCBE=CB+CE+BE=2+2*[tex] \sqrt{2} [/tex]=2(1+[tex] \sqrt{2} [/tex]) cm
Pentru Fig. 2:
Daca construim E in afara patratului, atunci ducem si perpendiculara EF pe prelungirea laturii AD si avem: Notam AE=EB=a si aplicam teorema lui Pitagora in ΔAEB:
[tex] AB^{2} = a^{2} + a^{2} [/tex]
[tex] 2^{2} = a^{2} + a^{2} [/tex]
a=[tex] \sqrt{2} [/tex] cm
Deci, in ΔAFE dreptunghic, aplicand din nou teorema lui Pitagora, avem:
[tex] AB^{2} = AF^{2} + FE^{2} [/tex]
Dar m(<AFE)=90-m(<EAB)=45 grade, deci si ΔAFE este dreptunghic isoscel, deci FE=FA=1 cm
In ΔDFE dreptunghic in F aplicam teorema lui Pitagora si avem:
[tex] DE^{2} = DF^{2} + FE^{2} [/tex]
[tex] DE^{2} = (2+1)^{2} + 1^{2} [/tex]
DE=[tex] \sqrt{10} [/tex] cm
b) Cum EA=EB (din ΔAEB isoscel) si m(<EAB)=m(<EBA)=45 grade, deci m(<EAD)=m(<EBC)=90+45=135 grade, iar AD=BC rezulta ca avem ΔEAD≡ΔEBC (L.U.L.), deci cele doua triunghiuri au ariile egale.
Observam ca aria ΔEAD=aria ΔEFD-aria ΔEFA, adica:
Aria ΔEBC=aria ΔEAD=[tex] \frac{3*1}{2} [/tex] - [tex] \frac{1*1}{2} [/tex] = 1 [tex] cm^{2} [/tex]
altfel:
aria ΔEAD=[tex] \frac{baza AD*inaltimea EF}{2} [/tex]=1 [tex] cm^{2} [/tex]
c) Perimetrul ΔCBE=2+[tex] \sqrt{2} [/tex]+[tex] \sqrt{10} [/tex] cm
