Daca fractia se simplifica printr-un divizor d nenul si d diferit de 1, atunci:
d | [tex] n^{2} +n+3[/tex]
d | [tex]2* n^{2} +3n+4[/tex]
Inmultim prima relatie cu (-2):
d | [tex]-2* n^{2} -2n-6[/tex]
si apoi adunam cele doua relatii:
d | n-2, deci d | [tex] (n-2)^{2} [/tex], adica:
d | [tex] n^{2} -4n+4[/tex] si scadem aceasta relatie din prima de sus, de unde avem:
d | 5n-1 si cum
d | n-2 inmultim a doua relatie cu (-5):
d | -5n+10 si adunam cu prima relatie:
d | 9, adica d∈{-3, 3, -9, 9}
Studiem fractia cu forme ale lui n din punct de vedere al divizibilitatii cu 3:
1) Daca n=3k, adica n=M3 (adica n este multiplu de 3):
fractia=[tex] \frac{M3}{M3+1} [/tex] nu se simplifica nici cu 3, nici cu 9, deci n=multiplu de 3 nu convine.
2) Daca n=3k+1, adica n=M3+1, atunci [tex] n^{2} [/tex]=[tex] (3k+1)^{2} [/tex]=[tex]9 k^{2} +6k+1[/tex]=M3+1
fractia=[tex] \frac{(M3+1)+(M3+1)+3}{2(M3+1)+M3+4} [/tex]=[tex] \frac{M3+2}{M3} [/tex] nu se simplifica nici cu 3, nici cu 9, deci n=M3+1 nu convine.
3) Daca n=3k+2, adica n=M3+2, atunci [tex] n^{2} [/tex]=[tex] (3k+2)^{2} [/tex]=[tex]9 k^{2} +12k+4[/tex]=M3+1
fractia=[tex] \frac{(M3+1)+(M3+2)+3}{2(M3+1)+M3+4} [/tex]=[tex] \frac{M3}{M3+2+4} [/tex]=[tex] \frac{M3}{M3} [/tex] se simplifica prin 3, evident, deci pentru n de forma M3+2 fractia se poate simplifica prin 3.
Exemplu:
Pentru n=3*1+2=5:
fractia=[tex] \frac{25+5+3}{2*25+3*5+4} [/tex]=[tex] \frac{33}{69} [/tex] se simplifica, intr-adevar prin 3 si obtinem fractia=[tex] \frac{11}{23} [/tex]
Analog se poate analiza n din punct de vedere al divizibilitatii cu 9, si se obtine forma n=M9+2 pentru care fractia este divizibila cu 9. Luam ca exemplu n=9*0+2=2 si obtinem [tex] \frac{9}{18} [/tex] care se simplifica prin 9, deci si prin 3).
Observam ca pentru n=M3+2 fractia se simplifica prin 3, dar nu intotdeauna si prin 9, deci n=M3+2 "acopera" ambele variante in care fractia sa fie simplificabla (nu conteaza prin cine).
