Notam N1, M1, N2, M2, N3, M3 asa cum se vede in desenul atasat (care sa imparta in 3 parti egale laturile paralelogramului ABCD).
Se formeaza paralelogramele: MBN3D, ANCM2, iar triunghiul AMP congruent cu triunghiul CN3Q' (cazul U.L.U.) pentru ca:
AM=CN3
m(<MAP)=m(<Q'CN3) ca unghiuri cu laturile respectiv paralele
m(<AMP)=m(<Q'N3C) ca unghiuri cu laturile respectiv paralele
Deci AP=CQ' (rel 1)
Din MP || BQ rezulta:
[tex] \frac{AM}{AB} = \frac{AP}{AQ} = \frac{2}{3} [/tex], deci putem sa notam:
AP=2a si AQ=3a, adica PQ=AQ-AP=a (rel 2)
Din NQ || CQ' rezulta:
[tex] \frac{NQ}{CQ'} = \frac{BN}{BC} = \frac{2}{3} [/tex] , dar din (rel 1) avem AP=CQ', deci:
[tex] \frac{NQ}{AP} = \frac{2}{3} [/tex], deci
NQ=4a/3 (rel 3)
Din (rel 2) si (rel 3) rezulta ca:
[tex] \frac{AP}{PN} = \frac{AP}{PQ+QN} = \frac{2a}{a+ \frac{4a}{3} } = \frac{2a}{ \frac{7a}{3} } = \frac{6a}{7a} = \frac{6}{7} [/tex]
