Notam cu S intersectia lui DP cu AB.
MN || AB determina rapoartele egale:
[tex] \frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB} [/tex], deci:
[tex] \frac{DM}{DM+MA} = \frac{CN}{CN+NB} [/tex], adica:
[tex] \frac{DM}{DA} = \frac{CN}{CB} [/tex] (rel 1)
Din MN || AB avem: triunghiul DMQ asemenea cu triunghiul DAB, deci:
[tex] \frac{DM}{DA} = \frac{MQ}{AB} [/tex] (rel 2)
respectiv triunghiul CPN asemenea cu triunghiul CAB, deci:
[tex] \frac{CN}{CB} = \frac{PN}{AB} [/tex] (rel 3)
Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta ca:
[tex] \frac{MQ}{AB} = \frac{PN}{AB} [/tex], deci:
MQ=PN, adica
MP+PQ=PQ+QN, de unde:
MP=QN, iar
MN=MN+PQ+QN=2*MP+[tex] \frac{MN}{3} [/tex], deci:
3MN=6MP+MN
2MN=6MP
MN=3MP, deci
MP=PQ=QN=[tex] \frac{MN}{3} [/tex]
Din MN || AB mai avem triunghiul DMP asemenea cu triunghiul DAS, deci:
[tex] \frac{MP}{AS} = \frac{DP}{DS} [/tex]
respectiv triunghiul DPQ asemenea cu triunghiul DSB, deci:
[tex] \frac{PQ}{SB} = \frac{DP}{DS} [/tex]
Din ultimele doua relatii rezulta ca:
[tex] \frac{PQ}{SB} = \frac{MP}{AS} [/tex], dar MP=PQ, deci
AS=SB, adica S este mijlocul lui AB.
(q.e.d.)
