Frumoasa problema!
Rescriem relatiile date astfel:
(1) [tex] \frac{a}{m} = \frac{b-c}{n-p} [/tex]
(2) [tex] \frac{b}{n} = \frac{c-a}{p-m} [/tex]
(3) [tex] \frac{c}{p} = \frac{a-b}{m-n} [/tex]
si folosim proprietatile rapoartelor egale=[tex] \frac{suma numaratorilor}{suma numitorilor} [/tex] =[tex] \frac{diferenta numaratorilor}{diferenta numitorilor} [/tex]
Deci rapoartele se mai scriu:
(1) [tex] \frac{a}{m} = \frac{b-c}{n-p} = \frac{a+b-c}{m+n-p} = \frac{a+c-b}{m+p-n} [/tex]
(2) [tex] \frac{b}{n} = \frac{c-a}{p-m} = \frac{b+c-a}{n+p-m} = \frac{b+a-c}{n+m-p} [/tex]
(3) [tex] \frac{c}{p} = \frac{a-b}{m-n} = \frac{c+a-b}{p+m-n} = \frac{c+b-a}{p+n-m} [/tex]
Din (1) si (2) observam ca:
(4) [tex] \frac{a}{m} = \frac{a+b-c}{m+n-p} = \frac{b}{n} [/tex]
Din (2) si (3) observam ca:
(5) [tex] \frac{b}{n} = \frac{b+c-a}{n+p-m} = \frac{c}{p} [/tex]
Din (4) si (5) rezulta ca (folosim tranzitivitatea relatiei de egalitate):
[tex] \frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{p} [/tex]
