a) Din PC || AB taiate de secanta BP, rezulta ca:
m(<ABQ)=m(<BPC) (alterne interne)
De asemenea, m(<BAQ)=m(<BCP) ca unghiuri opuse in paralelogram (au laturile respectiv paralele), iar
din BC || AQ taiate de secanta BQ avem:
m(<CBQ)=m(<BQA) (alterne interne)
Deci trunghiul ABQ asemenea cu triunghiul BPC (U.U.U.), deci:
[tex] \frac{BC}{AQ} = \frac{BP}{BQ} [/tex]
b) Cerinta se mai scrie:
[tex] \frac{BM}{BP} = \frac{MQ}{BQ} [/tex]
Din AB || PC avem unghiurile alterne interne congruente, deci:
m(<BPC)=m(<PBA), si
m(<ACP)=m(<CAB), iar
M(<PMC)=m(<AMB) (ca unghiuri opuse la varf), deci
triunghiul BMA asemenea cu triunghiul PMC (U.U.U.), deci
[tex] \frac{BM}{MP} = \frac{AM}{MC} [/tex] si folosind proprietatile rapoartelor egale rezulta ca:
[tex] \frac{BM}{BM+MP} = \frac{AM}{AM+MC} [/tex], adica:
[tex] \frac{BM}{BP} = \frac{AM}{AC} [/tex] (rel 1)
Din AQ || BC avem unghiurile alterne interne congruente, deci:
m(<BCM)=m(<MAQ), si
m(<CBM)=m(<MQA), iar
M(<BMC)=m(<AMQ) (ca unghiuri opuse la varf), deci
triunghiul BMC asemenea cu triunghiul QMA (U.U.U.), deci
[tex] \frac{MQ}{MB} = \frac{AM}{MC} [/tex] si folosind proprietatile rapoartelor egale rezulta ca:
[tex] \frac{MQ}{BM+MQ} = \frac{AM}{AM+MC} [/tex], adica:
[tex] \frac{MQ}{BQ} = \frac{AM}{AC} [/tex] (rel 2)
Din (rel 1) si (rel 2) rezulta ca:
[tex] \frac{BM}{BP} = \frac{AM}{AC} = \frac{MQ}{BQ} [/tex], adica
[tex] \frac{BM}{BP} = \frac{MQ}{BQ} [/tex]
(q.e.d.)
