Fie piramida VABCD, cu varful V si baza patratul ABCD, O este centrul patratului ABCD si AB=[tex]8 \sqrt{2} [/tex] cm.
a) Construim OM perpendicular pe AB, cu M apartine [AB], deci M va fi si mijlocul lui AB, iar OM||BC||AD (e bine de precizat).
Cum VO perpendicular pe baza (ABC) si
OM perpendicular pe AB, din Teorema celor 3 perpendiculare, rezulta ca VM perpendiculara pe AB.
Unghiul dintre doua plane este unghiul format de doua drepte perpendiculare in acelasi punct pe dreapta de intersectie dintre cele doua plane, fiecare inclusa in cate un plan.
Deci unghiul format de fata laterala (VAB) si baza (ABC) este <(VMO) = 45 grade (din ip), deci triunghiul VOM este dreptunghic in O si isoscel, cu
OV=OM=[tex] \frac{AD}{2} [/tex]=[tex] \frac{8 \sqrt{2} }{2} [/tex]=[tex]4 \sqrt{2} [/tex] cm este inaltimea
b) Aria bazei = [tex] (8 \sqrt{2} )^{2} [/tex]=64*2=128 [tex] cm^{2} [/tex]
In triunghiul dreptunghic isoscel OVM, ipotenuza
VM=OM[tex] \sqrt{2} [/tex]=8 cm
VM este inaltime in triunghiul VAB, deci
Aria VAB=[tex] \frac{VM*AB}{2} [/tex]=
=[tex] \frac{8*8 \sqrt{2} }{2} [/tex]=32[tex] \sqrt{2} [/tex] [tex] cm^{2} [/tex]
Deci aria totala este:
Aria=Aria bazei+4*Aria VAB=128+4*32[tex] \sqrt{2} [/tex]=128+128[tex] \sqrt{2} [/tex] [tex] cm^{2} [/tex]
c) Construim inaltimea ON in triunghiul OVM, cu N apartine VM si din exprimarea in doua moduri a ariei triunghiului OVM, gasim:
ON*VM=VO*OM, adica
ON*8=[tex]4 \sqrt{2} [/tex]*[tex]4 \sqrt{2} [/tex]
ON=4 cm
