Pentru C:
Din 5 / ( 3x - 1 ) rezulta ca
3x - 1 = 5k, unde k apartine N, deci
x=[tex] \frac{5k+1}{3} [/tex]=[tex] \frac{3k+2k+1}{3} [/tex]=k+[tex] \frac{2k+1}{3} [/tex] numar natural, deci trebuie ca 3 / (2k+1). Asta inseamna ca :
2k+1=3p, cu p numar natural, adica
k=[tex] \frac{3p-1}{2} [/tex]=[tex] \frac{2p+p-1}{2} [/tex]=p+[tex] \frac{p-1}{2} [/tex] este numar natural, deci trebuie ca 2 / (p-1). Asta insemna ca:
p-1=2n, cu n numar natural oarecare, adica p=2n+1 care este natural (impar) pentru orice n nr nat.
Ne intoarcem "pe fir in sus" si reluam calculele, etapa cu etapa, pana ajungem la forma generala a lui x in functie de n:
-inlocuim mai intai p=2n+1 in forma lui k (in functie de p) pe care am gasit-o mai sus:
k=p+[tex] \frac{p-1}{2} [/tex]
k=(2n+1)+[tex] \frac{(2n+1)-1}{2} [/tex]=2n+1+n=3n+1
-inlocuim acum k, astfel gasit, in forma lui x in functie de k de si mai sus:
x=k+[tex] \frac{2k+1}{3} [/tex]
x=(3n+1)+[tex] \frac{2(3n+1)+1}{3} [/tex]=3n+1+2n+1=5n+2, unde n este numar natural oarecare. Deci am gasit forma generala a lui x, care ia o infinitate de valori, din 5 in 5, pornind de la 2, deci
C={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, ....} = {5n+2 | n apartine N}
Pentru D:
D = { x/ x apartine N si 4 / ( x + 2 ) }
Rationamentul este asemanator si nu voi mai scrie toate amanuntele:
Din 4 / ( x + 2 ) rezulta ca
x+2 = 4k, unde k apartine N, deci
x=4k-2, cu k numar natural si x are valori numere naturale pentru k>=1, iar x va lua valorile: 2, 6, 10, 14, 18, 22, etc. Deci
D={2, 6, 10, 14, 18, 22,....} = {4k-2 | k apartine N*}
