Ai desenul atasat.
In triunghiul ABC dreptunghic in B, cu AB=[tex] \sqrt{2} [/tex] cm, aplicam Teorema lui Pitagora:
[tex] AC^{2} = ( \sqrt{2} )^{2} + ( \sqrt{2} )^{2} [/tex]
deci AC=2 cm=PA, deci triunghiul PAC este dreptunghic isoscel (PA perpendiculara pe planul patratului ABCD, deci este perpendiculara pe orice dreapta inclusa in plan, deci si pe AC) si tot cu Teorema lui Pitagora obtinem:
[tex] PC^{2} = 2^{2} + 2^{2} =2* 2^{2} [/tex] , deci
PC= [tex]2 \sqrt{2} [/tex] cm
Notam cu O intersectia diagonalelor patratului ABCD. Stim ca in patrat diagonalele sunt perpendiculare, deci AO perpendicular pe BD.
Aplicam Teorema celor 3 perpendiculare:
PA perpendiculara pe planul (ABD)
AO perpendiculara pe BD
BD inclusa in planul (ABD), deci
PO perpendiculara pe BD, adica PO este inaltime in triunghiul PBD, iar aria triunghiului PBD=[tex] \frac{PO*BD}{2} [/tex]
Diagonalele patratului sunt egale si se injumatatesc, deci BD=AC=2 cm (am calculat mai sus), iar AO=OC=1 cm.
Cum PA perpendiculara pe (ABD) si AO inclusa in planul (ABD), rezulta PA perpendiculara pe AO si aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic PAO:
[tex] PO^{2} = PA^{2} + AO^{2} = 2^{2} + 1^{2} =4+1=5 [/tex]
PO=[tex] \sqrt{5} [/tex] cm
Deci aria triunghiului PBD = [tex] \frac{PO*BD}{2} [/tex] = [tex] \frac{ \sqrt{5} *2}{2} [/tex]=[tex] \sqrt{5} [/tex] [tex] cm^{2} [/tex]
