Toate puterile lui 3 sunt numere impare.
a) A=[tex] 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011} [/tex] are 2011 termeni impari.
Stim:
par+par=impar+impar=par
par+impar=impar
Observam ca daca grupam 2 cate 2 termenii din A, obtinem 1005 perechi de numere impare (care perechi insumate dau un numar par) si inca un termen impar, adica A=par+impar=impar.
b) A+1=[tex]1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011} [/tex]
Stim formula generala:
[tex] x^{n} -1=(x-1)(1+x+ x^{2} + x^{3} +...+ x^{n-1} )[/tex]
Inlocuind x=3 si n=2012 obtinem:
[tex] 3^{2012} -1=(3-1)(1+ 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} +...+ 3^{2011} )[/tex]=2(A+1)
Deci:
U(A+1)=U([tex](3^{2012} -1):2[/tex])
Ultima cifra a puterilor lui 3 se repeta din 4 in 4 astfel:
[tex]U( 3^{1} )=3[/tex]
[tex]U( 3^{2} )=9[/tex]
[tex]U( 3^{3} )=7[/tex]
[tex]U( 3^{4} )=1[/tex]
[tex]U( 3^{5} )=3[/tex]
[tex]U( 3^{6} )=9[/tex]
[tex]U( 3^{7} )=7[/tex]
..............etc.
Cum 2012=4*503, deci este multiplu de 4, inseamna ca:
[tex]U( 3^{2012} )=1[/tex], deci
U(A+1)=U([tex](1 -1):2[/tex])=0
c) Cum numerele care au ultima cifra 0 sunt divizibile cu 5 si pentru ca am aratat la b) ca U(A+1)=0, rezulta ca restul impartirii lui A+1 la 5 este 0, deoarece A+1 este divizibil cu 5.
