a=n*1+n*5+n*9+...+n*397 este patrat perfect.
Aducem a la o forma de produs, ca sa putem analiza puterile factorilor. (Stim ca daca un numar prim divide un patrat perfect, atunci el apare la o putere para in descompunerea in factori primi a patratului perfect)
a=n*1+n(1+1*4)+n(1+2*4)+...+n(1+99*4)=
=n*100+n*4(1+2+3+...+99) Folosim formla Sumei lui Gauss pentru suma din paranteza:
a=n*100+n*4*[tex] \frac{99*100}{2} [/tex]
=n*100+n*2*99*100=
=n*100(1+198)=n*100*199=[tex] 10^{2} [/tex]*n*199=[tex] 2^{2} * 5^{2} [/tex]*n*199
Cum 199 este numar prim, iar a este patrat perfect, inseamna ca n=199*k, unde k>=1 si k trebuie sa fie, la randul lui, patrat perfect. Cum n trebuie sa fie cel mai mic posibil, inseamna ca luam k=1, cea mai mica valoare posibila pentru k, deci n=199.
