👤
DANUTGHENGHEA1VIZ
a fost răspuns

Dacă [tex]a,b,c \geq 0,[/tex] arătați că [tex] (a+b+c)^{4} \geq 16( a^{2} b^{2} + b^{2} c ^{2} + c^{2} a^{2} ).[/tex]

Răspuns :

MATEPENTRUTOTIVIZ
[tex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)(1) \\ Folosind\ inegalitatea\ dintre\ media\ geometrica\ si\ media\ aritmetica:\\ x+y \geq 2 \sqrt{xy} \\ Din\ (1)=>(a+b+c)^2 \geq 2 \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\cdot 2(ab+ac+bc)} \\ Inegalitatea\ anterioara\ o \ ridicam\ la\ patrat:\\ (a+b+c)^4 \geq 8 (a^2+b^2+c^2)\cdot (ab+ac+bc)(2)\\ (a^2+b^2+c^2)\cdot (ab+ac+bc)=ab(a^2+b^2)+ac(a^2+c^2)+bc(a^2+c^2)\\ +abc^2+acb^2+bca^2 \geq2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2(3) \\ Din\ (2)+(3)=>(a+b+c)^4 \geq 16(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) [/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari