Reducere la absurd
Presupunem că √5n+2013 ∈ Q. Atunci √5n+2013 se poate scrie sub forma a/b, cu (a,b)=1, adică a și b sunt prime între ele.
√5n+2013= a/b ridicăm la pătrat => 5n+2013 = a²/b² => a² divide (5n+2013) => a divide (5n+2013) deci poate fi scris sub forma a=(5n+2013)*k , k∈Z
înlocuim în 5n+2013=a²/b² => (5n+2013)*b²=[(5n+2013)*k]² => b²*(5n+2013) = k²*(5n+2013)² simplificăm prin (5n+2013) => b²=k²*(5n+2013) => b² divide (5n+2013) deci b divide (5n+2013).
dar și a divide (5n+2013) deci a și b nu mai sunt prime între ele => contradicție => presupunerea făcută este falsă, deci √5n+2013 ∈R\Q
