1. Fie x numarul cautat.
Conform teoremei impartirii cu rest
x=4·n+3 , n natural
x= 5·m+4, m natural
x=20·k+y y natural, y<20 ce trebuie determinat
Impartim ultima ecuatie la 4 respectiv 5
x/4=(20·k+y)/4=5k+y/4
Cum 20k este mereu divizibil cu 4⇒y/4 da restul impartirii si prin urmare y=4·t+3
Valorile lui t pentru care y<20 sunt 0,1,2,3,4 ⇒ y={3,7,11,15,19}
x/5=(20·k+y)/4=4k+y/5
Cum 20k este mereu divizibil cu 5⇒y/5 da restul impartirii si prin urmare y=5·r+4
Valorile lui r pentru care y<20 sunt 0,1,2,3, ⇒ y={4,9,14,19}
Singura valoare a lui Y care indeplineste ambele conditii este 19 cctd.
2 Numarele care impartit la 23 dau restul 9 se scriu x=23k+9 unde K este numar natural.
Primul numar natular de 4 cifre este 1000 iar ultimul este 9999.
Deci 1000≤23k+9≤9999
Din prima inecuatie 1000≤23k+9 ⇒k≥(1000-9)23 k≥ 43,08 (n natural) k≥ 44
Din a doua inecuatie 23k+9≤9999 ⇒k≤(9999-9)23 k≤ 434,34 (n natural) k≤434
In total sunt deci 434-43 =391 numere
3 Stim ca fiecare termen este ≥1 (nenul). Atunci suma maxima care se obtine adunand 2 termeni se obtine atunci cand ceilalti termeni sunt minimi deci cand sunt 1.
Atunci din suma totala 119 scadem 13 suma celor 13 termeni ramasi si rezulta 106.
