A) In triunghiul AMN dreptunghic in A calculam ipotenuza MN cu Teorema lui Pitagora, stiind catetele AN=8 cm si AM=MB=AB/2=12/2=6 cm, deci:
[tex] MN^{2} = AM^{2} + AN^{2} [/tex]
[tex] MN^{2} = 6^{2} + 8^{2} [/tex]
[tex] MN^{2} = 36 + 64 [/tex]
[tex] MN^{2} = 100 [/tex]
MN=10 cm
In triunghiul NDC dreptunghic in D calculam ipotenuza NC cu Teorema lui Pitagora, stiind catetele DN=AD-AN=12-8=4 cm si DC=12 cm, deci:
[tex] NC^{2} = DN^{2} + DC^{2} [/tex]
[tex] NC^{2} = 4^{2} + 12^{2} [/tex]
[tex] NC^{2} = 16 + 144 [/tex]
[tex] NC^{2} = 160 [/tex]
NC=[tex]4* \sqrt{10} [/tex] cm
In triunghiul MBC dreptunghic in B calculam ipotenuza MC cu Teorema lui
Pitagora, stiind catetele BC=12 cm si BM=6 cm, deci:
[tex] MC^{2} = BM^{2} + BC^{2} [/tex]
[tex] MC^{2} = 6^{2} + 12^{2} [/tex]
[tex] MC^{2} = 36 + 144 [/tex]
[tex] MC^{2} = 180 [/tex]
MC=[tex]6* \sqrt{5} [/tex] cm
Deci perimetrul triunghiului MNC este:
MN+NC+MC=10+[tex]4* \sqrt{10} [/tex] + [tex]6* \sqrt{5} [/tex] cm
B) Construim CC' perendiculara pe MN, cu C' apartine (MN) si notam cu h=(CC'), cu a=(NC') si cu b=(MC'). Deci:
a+b=10 cm (rel 1)
si aplicam teorema lui Pitagora in Triunghiurile dreptunghice NCC', respectiv MCC':
[tex] NC^{2} = CC'^{2} + NC'^{2} [/tex]
[tex] 160 = h^{2} + a^{2} [/tex] (rel 2)
[tex] MC^{2} = CC'^{2} + MC'^{2} [/tex]
[tex] 180 = h^{2} + b^{2} [/tex] (rel 3)
Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) calculam valorile lui a, b si h astfel: Scadem (rel 2) din (rel 3):
[tex] 20 = b^{2} - a^{2} =(b-a)*(b+a) [/tex] dar a+b=10 cm, deci:
20=(b-a)*10, de unde:
b-a=2
b=a+2 si inlocuim in (rel 1):
a+(a+2)=10
2*a+2=10
2*a=8
a=4 cm, deci, din (rel 2)
[tex] 160 = h^{2} + 4^{2} [/tex]
[tex] 160 = h^{2} + 16 [/tex]
[tex] 144 = h^{2} [/tex]
h=12 cm (adica exact distanta de la C la MN)
