👤
POSTOLACHEAMALVIZ
a fost răspuns

Am si eu o mica dilema in legatura cu problema aceasta: 

Spunem ca multimea nevida M de cardinal n are proprietatea P daca elementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori. Notam cu Sm suma tuturor celor 4n divizori ai elementelor lui M (suma poate contine termeni care se repeta).
a) Aratati ca A= { 2x37 , 19x37, 29x37} are proprietatea P si S indice A = 2014.
b) In cazul in care o multime B are proprietatea P si 8 ∈ B, demonstrati ca S indice B ≠ 2014.

Răspuns :

a) Numerele care au exact 4 divizori sunt fie produs de doua numere prime, fie un numar prim la puterea a treia. Mulțimea A contine doar numere din prima categorie, deci are proprietatea P.
 [tex]S_A=1+2+37+2\cdot37+1+19+37+19\cdot37+[/tex]

[tex]+1+29+37+29\cdot37=2014[/tex]

b) [tex]8=2^3[/tex]
Deci B  are celelalte elemente de forma:
         -  produs de doua numere prime, sau
         -  puterea a treia a unui numar prim impar (deoarece singurul numar par si prim este 2).
1. Suma divizorilor lui 8 este 15, deci număr impar.
2. Suma divizorilor unui număr care este produs de doua numere prime diferite  este numar par.
3. Suma divizorilor unui numar care este puterea a treia a unui numar prim impar este un numar par.
Din ultimele trei puncte de mai sus deducem ca suma divizorilor elementelor lui B este un numar impar, care evident ca nu poate fi 2014.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari