Răspuns :
[tex]E(n) = n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3) = (n+3)(n^2-1) = \\\;\\
=(n+3)(n-1)(n+1) = (n-1)(n+1)(n+3)[/tex]
Deoarece n este numar impar, rezulta ca n = 2k+1, unde k este natural.
Vom avea :
E(k) = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3) = 2k(2k+2)(2k+4)=2k·2(k+1)2·(k+2) =
= 2·2·2k(k+1)(k+2) =8k(k+1)(k+2)
Evident, E(k) este multiplu de 8.
Dar, produsul numerelor naturale consecutive k(k+1)(k+2) este divizibil cu 6, rezulta ca E(k) este si multiplu de 6.
Fiind simultan multiplu de 8 si multiplu de 6, rezulta ca E(k) este multiplu de 6·8=48
Deoarece n este numar impar, rezulta ca n = 2k+1, unde k este natural.
Vom avea :
E(k) = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3) = 2k(2k+2)(2k+4)=2k·2(k+1)2·(k+2) =
= 2·2·2k(k+1)(k+2) =8k(k+1)(k+2)
Evident, E(k) este multiplu de 8.
Dar, produsul numerelor naturale consecutive k(k+1)(k+2) este divizibil cu 6, rezulta ca E(k) este si multiplu de 6.
Fiind simultan multiplu de 8 si multiplu de 6, rezulta ca E(k) este multiplu de 6·8=48
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!