Răspuns :
numerul de divizori ai unui numar se afla dupa formula
produsul puterilor factorilor primi adunati cu 1
exemplu pentru 6
descompus in factori primi 6=2*3 si 2 si 3 sunt la puterea 1
deci (1(de la 2 la puterea 1)+1)(1(de la 3 la puterea 1)+1)=2*2=4 divizori
am sa notez numarul divizorilor lui A cu D
A are D divizori
27*A are D+15 divizori
8*A^2 are 4D divizori
din ultima relatie este clar ca A are in descompunere termenul 2 la puterea 1 cel putin, deoarece daca nu l-ar fi avut, ar fi fost adevarata relatia 8*A are 4D divizori
27 este 3^3,
daca A nu ar avea in descompunerea sa termenul atuni ar daca ca D=5, dupa care nu se poate verifica a doua relatie, rezulta ca A sigur are in descompunerea sa pe 3
am sa notez cu x, puterea lui 3 care se gaseste in descompunerea lui A
si am sa notez cu T fractia D/(x+1)
3^3 * A are (x+3+1)*T divizori
dar din problema stim ca 3^3 * A are D+15 divizori, adica (x+1)T+15 divizori
egalez relatiile si rezulta
(x+4)T=(x+1)T+15
T(x+4)-T(x+1)=15
T(x+4-x-1)=15
T*3=15
T=5
D/(x+1)=5
Rezulta ca D are doar 2 factori primi, 3 la puterea x si 2 la puterea a 4, deoarece
(4+1)*(x+1)/(x+1)=5 e singura posibilitate
rezulta ca A este de forma
A=2^4 * 3^x
4D=4*5*(x+1)
4D=20x+20
dupa, deoarece A^2 are (2*4+1)(2*x+1) divizori (deoarece se dubleaza fiecare putere a factorilor primi prin ridicarea la patrat)
si 2^3 * A^2 are (2*4+3+1)(2x+1) divizori (deoarece atunci cand se inmulteste cu 2^3, se aduna 3 la exponentul lui 2 din descompunerea lui A)
dupa egalez (2*4+4)(2x+1) din calculele mele cu 20x+20 din problema
si rezulta
(8+4)(2x+1)=20x+20
12(2x+1)=20x+20
24x+12=20x+20
dupa trec pe 20x in stanga si pe 12 in dreapta cu semn schimbat si rezulta....
4x=8
x=2
Stim deja ca A=2^4 * 3^x
si x=2
deci rezulta
A=16 * 3^2
A=16*9
A=144
Deci numarul cautat este 144
produsul puterilor factorilor primi adunati cu 1
exemplu pentru 6
descompus in factori primi 6=2*3 si 2 si 3 sunt la puterea 1
deci (1(de la 2 la puterea 1)+1)(1(de la 3 la puterea 1)+1)=2*2=4 divizori
am sa notez numarul divizorilor lui A cu D
A are D divizori
27*A are D+15 divizori
8*A^2 are 4D divizori
din ultima relatie este clar ca A are in descompunere termenul 2 la puterea 1 cel putin, deoarece daca nu l-ar fi avut, ar fi fost adevarata relatia 8*A are 4D divizori
27 este 3^3,
daca A nu ar avea in descompunerea sa termenul atuni ar daca ca D=5, dupa care nu se poate verifica a doua relatie, rezulta ca A sigur are in descompunerea sa pe 3
am sa notez cu x, puterea lui 3 care se gaseste in descompunerea lui A
si am sa notez cu T fractia D/(x+1)
3^3 * A are (x+3+1)*T divizori
dar din problema stim ca 3^3 * A are D+15 divizori, adica (x+1)T+15 divizori
egalez relatiile si rezulta
(x+4)T=(x+1)T+15
T(x+4)-T(x+1)=15
T(x+4-x-1)=15
T*3=15
T=5
D/(x+1)=5
Rezulta ca D are doar 2 factori primi, 3 la puterea x si 2 la puterea a 4, deoarece
(4+1)*(x+1)/(x+1)=5 e singura posibilitate
rezulta ca A este de forma
A=2^4 * 3^x
4D=4*5*(x+1)
4D=20x+20
dupa, deoarece A^2 are (2*4+1)(2*x+1) divizori (deoarece se dubleaza fiecare putere a factorilor primi prin ridicarea la patrat)
si 2^3 * A^2 are (2*4+3+1)(2x+1) divizori (deoarece atunci cand se inmulteste cu 2^3, se aduna 3 la exponentul lui 2 din descompunerea lui A)
dupa egalez (2*4+4)(2x+1) din calculele mele cu 20x+20 din problema
si rezulta
(8+4)(2x+1)=20x+20
12(2x+1)=20x+20
24x+12=20x+20
dupa trec pe 20x in stanga si pe 12 in dreapta cu semn schimbat si rezulta....
4x=8
x=2
Stim deja ca A=2^4 * 3^x
si x=2
deci rezulta
A=16 * 3^2
A=16*9
A=144
Deci numarul cautat este 144
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!