5)2013+2(1+2+.....+2012)
1+2+3+...+2012=2012*2013/2
2013+2*2012*2013/2 - 2 cu 2 se simplifica
2013+2012*2013=
2013(1+2012)=2013*2013=> patrat perfect
6)
2⁵⁷=(2³)¹⁹=8¹⁹
3³⁸=(3²)¹⁹=9¹⁹
8<9 deci 2⁵⁷<3³⁸
7)
a = 1 + 2 + 2² + .... + 2¹¹ inmultim ex . cu 2
2a = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹¹ + 2¹² din care scadem a
- a = -1 -2 - 2² - 2³ - ..... - 2¹¹
----------------------------------------------------
2a -a = -1 + 2¹²
a = 2¹² - 1
atunci 1 + a = 1 + 2¹² - 1 = 2¹² = ( 2⁴ ) ³ cub
8)
63=9*7
P+3=1*2*3*4*...*10 este divizibil cu 63 deoarece contine factorii 7 si 9.
P+3=n*63 ⇒ P=n*63-3=(n-1)*63+63-3=(n-1)*63+60
P=(n-1)*63+60
Cum 60<63 rezulta din relatia de mai sus si din teorema impartireii cu rest ca:
Deci restul impartirii numarului P la 63 este 60.
9)
Numerele naturale de 3 cifre care dau rest la impartirea cu 7 sunt de tipul: a=20k+7
Se pun conditiile a≥100 si a≤999 de unde rezulta ca 5≤k≤49.
Deci sunt 45 de numere in total acestea fiind:
107, 127, 147, 167,.....967, 987
10)
a+b<120
a:b=9 rest 10
a = 9b+10
9b+10+b≤120
10b≤120-10
10b≤110
b≤110/10
b≤11
a=11*9+10=99+10=109
a+b=120 nu depaseste 120
