Răspuns :
Etapa de verificare:
pentru n=2
1/2^2<1/2
1/4<1/2 Adevarat
Etapa de demonstratie
presupunem ca pentru n relatia e adevarata:
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2 < n-1/n
si demonstram pentru n+1
rezulta
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n+1-1/n+1
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n/n+1
inlocuiesc termenii din stanga , inafara de ultimul cu n-1/n, este corect, deoarece am presupus ca acei termeni sunt <n-1/n mai sus umpic
deci n-1/n+1/(n+1)^2<n/n+1
trec pe n-1/n in dreapta cu semn schimbat si rezulta
1/(n+1)^2<n/n+1-(n-1)/n
aduc la acelasi numitor comun in dreapta, amplificand cu n+1 si n
1/(n+1)^2<n^2-n^2+1/n(n+1)
1/(n+1)^2<1/n(n+1)
dupa formula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 in stanga jos rezulta
1/(n^2+2n+1)<1/(n^2+n)
ceea ce este adevarat
Rezulta comform inductiei matematice ca relatia este adevarata
pentru n=2
1/2^2<1/2
1/4<1/2 Adevarat
Etapa de demonstratie
presupunem ca pentru n relatia e adevarata:
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2 < n-1/n
si demonstram pentru n+1
rezulta
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n+1-1/n+1
1/2^2 + 1/3^2+... +1/n^2+1/(n+1)^2 < n/n+1
inlocuiesc termenii din stanga , inafara de ultimul cu n-1/n, este corect, deoarece am presupus ca acei termeni sunt <n-1/n mai sus umpic
deci n-1/n+1/(n+1)^2<n/n+1
trec pe n-1/n in dreapta cu semn schimbat si rezulta
1/(n+1)^2<n/n+1-(n-1)/n
aduc la acelasi numitor comun in dreapta, amplificand cu n+1 si n
1/(n+1)^2<n^2-n^2+1/n(n+1)
1/(n+1)^2<1/n(n+1)
dupa formula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 in stanga jos rezulta
1/(n^2+2n+1)<1/(n^2+n)
ceea ce este adevarat
Rezulta comform inductiei matematice ca relatia este adevarata
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!