Viz Lesson
a fost răspuns

Salut ! Am o problema la mate pe care n-o stiu sa o continui ( e de olimpiada , clasa 8) .Am facut-o mai mult de jumatate ( pot sa zic ) . Suna cam asa : Determinati n∈N ,astfel incat numarul a= [tex] \sqrt{4n ^{2} +20n +65} [/tex] sa fie numar natural. Eu am rezolvat-o astfel ( sa-mi spuneti daca nu e in regula si rezolvarea mea ) : [tex] a^{2} [/tex] = [tex]4n ^{2} +20n+65[/tex] [tex] \\ \\ a^{2} =(2n+5)^{2} +40 \\
=\ \textgreater \ a ^{2} -(2n+5) ^{2} =40
\\ \\ (a+2n+5)(a-2n-5)=40 \\
=\ \textgreater \ a+2n+5=1 \\ a-2n-5=40 \\
dar.si---\ \textgreater \ ... a+2n+5=40 \\ a-2n-5=1 \\ Fals[/tex]
De aici nu mai stiu cum sa continui ....unii buni la mate , Albastruverde , getatotan , Geta , Icognito , ajutor ! 

Răspuns :

GETATOTANVIZ
4n² + 20n + 65  = 4n² + 4n + 1   + ( 16n  + 64) =
    a² =  ( 2n +1)² + 16( n +4)  
( a - 2n -1) · ( a + 2n +1) = 16·( n +4)
 daca                     a -2n -1 = 16                           a - 2n =17
               si           a + 2n +1 = n +4                      a + n = 3 
                                   ⇒  n = - 14 /3 fals 
daca       a - 2n -1 = n +4                ;  a - 3n = 5 
               a + 2n + 1 = 16      ;            a + 2n = 15
                                      ------------------------------------------
                                      a - 3n - a - 2n = 5 -15     ;  - 5n =  -10 
n=2   si          a = 5 + 3n   = 5 + 6 =11          solutie 
                     

ALBASTRUVERDE12VIZ
[tex]In~tipul~acesta~de~ probleme~ai~doua~tipuri~de~rezolvari: ~cea~pe~care\\ \\ai~ folosit-o,~si~inca~una...pe~care~o~voi~prezenta~la~final. \\ \\ Ai~pornit~bine,~insa~ai~finalizat~gresit. \\ \\ (a+2n+5)(a-2n-5)=40 \\ \\ Ideea~e~ca~ambii~factori~sunt~numere~intregi,~si~deci~sunt~divizori \\ \\ de-ai~lui~40.~Mai~mult:~a+2n+5\ \textgreater \ 0,~si,~deci, ~a-2n-5\ \textgreater \ 0.\\ \\ Si~mai~mult:(a+2n+5)~si~(a-2n-5)~au~aceeasi~paritate!~...~si~ \\ \\cum~40~este~par,~rezulta~ca~cei~doi~factori~sunt~pari. [/tex]

[tex]Mult~mai~mult:~a+2n+5\ \textgreater \ a-2n-5~(asta~pentru~ca~n \geq 0). \\ \\ Si~...~a+2n+5 \geq 5. \\ \\ Pe~baza~acestor~numeroase~observatii~pe~care~le~folosesc~de~cate \\ \\ori~am~ocazia,~pentru~a~evita~numeroasele~cazuri~de~verificat~(de~ \\ \\ exemplu:~in~aceasta~problema,~fara~aceste~observatii~ar~fi~fost \\ \\ 16~cazuri~de~analizat~(eventual~8...)).\\ \\ Revenind...~Avem~deci~urmatoarele~cazuri:[/tex]

[tex]i)~ \left \{ {{a+2n+5=10} \atop {a-2n-5=4}} \right. \Rightarrow~a=7~si~n=-1,~nu~convine! \\ \\ ii) \left \{ {{a+2n+5=20} \atop {a-2n-5=2}} \right. \Rightarrow ~ a=11~si~n=2.\\ \\ Deci~singura~solutie~este~ \boxed{n=2} .[/tex]

[tex]Cealalta~metoda~promisa:~ \\ \\ Avem:~a^2=4n^2+20n+65. ~Observam~ca~n=0~nu~este~solutie, \\ \\deci~vom~analiza~cazul~n \geq 1. \\ \\ Vom~incerca~sa-l~incadram~pe~4n^2+20n+65~intre~doua~patrate~ \\ \\perfecte~(nu~neaparat~consecutive). \\ \\ 4n^2+20n+65=(2n)^2+2 \cdot (2n) \cdot 5+5^2+40=(2n+5)^2+40. \\ \\ Deci~4n^2+20n+65\ \textgreater \ (2n+5)^2 \Leftrightarrow a^2\ \textgreater \ (2n+5)^2\\ \\(2n+6)^2=4n^2+24n+36,hmm... (nu~tocmai~util)\\ \\ (2n+7)^2=4n^2+28n+49 ~(din~nou...nu~tocmai~util).[/tex]

[tex](2n+8)^2=4n^2+32n+64\ \textgreater \ 4n^2+20n+65=a^2. \\ \\ Deci~(2n+8)^2\ \textgreater \ a^2\ \textgreater \ (2n+5)^2. \\ \\ Se~rezolva~pe~rand~ecuatiile~a^2=(2n+7)^2~si~a^2=(2n+6)^2,~\\ \\tinandu-se~cont~de~faptul~ca~a^2=4n^2+20n+65 .[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari