[tex]\boxed{\Rightarrow}}~ (direct)\\ \\ \{x\}+\{y\}=1 \Leftrightarrow x- [x]+y-[y]=1 \Leftrightarrow x+y=1+[x]+[y] \in Z. \\ \\ \boxed{ \Leftarrow} ~(reciproc)\\ \\ x+y \in Z \Leftrightarrow [x]+[y]+ \{x\}+\{y\} \in Z \Rightarrow \{x\}+ \{y\} \in Z. \\ \\ Dar~\{x\},\{y\} \in(0,1) \Rightarrow \{x\}+\{y\}\in(0,2),~si~cum~ \{x\}+ \{y\} \in Z \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \boxed{\{x\}+\{y\}=1}.\\ \\ Observatie:~ \{x\}, \{y\} ~nu~pot~fi~egale~cu~0,~caci~atunci~x~si/sau~y~ar \\ \\ fi~intregi,~contradictie![/tex]
