👤
a fost răspuns

sa se determine termenul general şi r unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este Sn=5n^2+3n

Răspuns :

SEESHARPVIZ
notam primul termen cu a , in progresie aritmetica termeni cresc cu o ratie (notam ratia cu r)

deci avem :

a+ (a+r) +(a+2*r) +(a+3*r)+...+(a+r*(n-1))=5n^2+3n <=>
<=>  n*a +r*(1+2+3+...+n-1)=5*n^2+3n <=>
<=> n*a +r*n*(n-1)/2 =5*n^2+3n                /inmultim atat la stanga cat si la dreapta cu 2(pt a scapa de fractie si obtinem:
<=> 2*a*n+r*n*(n-1)=10*n^2+6*n <=>
<=>2*a*n+r*n^2 -r*n =10*n^2+6*m <=>
<=>n*(2*a-r) +r*n^2 =10*n^2 +6*n <=>
<=> 2*a-r=6 si r=10 <=>
<=>a=8
deci progresia noastra era de forma :
8+ (8+10) +(8+2*10) +...+(8+(n-1)*10)

termenul general fiind 8+(n-1)*10
[tex]a_1=S_1 =5\cdot1+3\cdot1=8[/tex]

Deci, primul termen al progresiei este   [tex]a_1=8[/tex]

[tex]a_1+a_2=S_2=5\cdot2^2+3\cdot2=20+6=26[/tex]

Dar, [tex]a_1+a_2=8+a_2[/tex]

Rezulta ca:  [tex]8+a_2=26 \Longrightarrow \ a_2=26-8\ \Longrightarrow\ a_2=18[/tex]

Ratia este diferenta dintre doi termeni consecutivi.

r=18-8=10

Daca stim primul termen si ratia , atunci termenul general se calculeaza cu formula:

[tex]a_n=a_1+(n-1)r =8+(n-1)\cdot10=8+10n-10=10n-2[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari