Răspuns :
Notez dimennsiunile dreptunghiului cu x si y si obtin:
x²+y²=180
xy=72
(x+y)²=x²+y²+2xy=180+144=324⇒x+y=18
Se observa ca numerele 8 si 9 au suma 18 si produsul 72, deci lungimea este 9 cm.
Aici am gresit, si am fost avertizat de Astronos 27. Este vorba intr-adevar de numerele 12 si 6, deci lungimea este 12, asa cum a rezolvat cineva mai jos.
Se pot afla numerele x si y din ecuatia de gradul doi [tex] x^{2} -18x+72=0[/tex]
(ecuatia [tex] x^{2} -Sx+P=0[/tex] este ecuatia ale carei radacini dau suma S
si produsul P.)
[tex]\Delta=324-288=36\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{18\pm6}{2}\Rightarrow x_1=12;x_2=6[/tex]
x²+y²=180
xy=72
(x+y)²=x²+y²+2xy=180+144=324⇒x+y=18
Se observa ca numerele 8 si 9 au suma 18 si produsul 72, deci lungimea este 9 cm.
Aici am gresit, si am fost avertizat de Astronos 27. Este vorba intr-adevar de numerele 12 si 6, deci lungimea este 12, asa cum a rezolvat cineva mai jos.
Se pot afla numerele x si y din ecuatia de gradul doi [tex] x^{2} -18x+72=0[/tex]
(ecuatia [tex] x^{2} -Sx+P=0[/tex] este ecuatia ale carei radacini dau suma S
si produsul P.)
[tex]\Delta=324-288=36\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{18\pm6}{2}\Rightarrow x_1=12;x_2=6[/tex]
Sa notam latimea dreptunghiului cu a, iar lungimea cu l.
Din faptul ca aria este de 72 cm, obtinem prima relatie, si anume ab=72.
Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD, cu ipotenuza BD, de [tex]6 \sqrt{5} [/tex]. Obtinem [tex](6 \sqrt{5})^2=a^2+b^2 [/tex]. De aici, [tex]a^2+b^2=180[/tex]
Scotand din prima relatie pe b si tinand cont ca a este diferit de 0, obtinem [tex]b= \frac{72}{a} [/tex].
Inlocuim in cea de-a doua relatie.
[tex]a^2+ (\frac{72}{a})^2=180 [/tex]
Eliminam numitorul.
[tex]a^4+5184=180a^2 <=> a^4-180a^2+5184=0[/tex]
Am obtinut o ecuatie bipatrata in necunoscuta a. Notam [tex]a^2=y>0[/tex] si obtinem ecuatia de gradul 2 in necunoscuta y:
[tex]y^2-180y+5184=0[/tex]
[tex]delta=11664=108^2[/tex]
Solutiile sunt y1=36 si y2=144, ambele pozitive, deci convin.
Pentru [tex]y1=36 => a^2=36 => a=6 => b= \frac{72}{6} =12[/tex]
Pentru [tex]y2=144 => a^2=144 => a=12 => b= \frac{72}{12} = 6[/tex]
Deci latimea, respectiv lungimea, vor fi de 6 cm, respectiv de 12 cm.
Din faptul ca aria este de 72 cm, obtinem prima relatie, si anume ab=72.
Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD, cu ipotenuza BD, de [tex]6 \sqrt{5} [/tex]. Obtinem [tex](6 \sqrt{5})^2=a^2+b^2 [/tex]. De aici, [tex]a^2+b^2=180[/tex]
Scotand din prima relatie pe b si tinand cont ca a este diferit de 0, obtinem [tex]b= \frac{72}{a} [/tex].
Inlocuim in cea de-a doua relatie.
[tex]a^2+ (\frac{72}{a})^2=180 [/tex]
Eliminam numitorul.
[tex]a^4+5184=180a^2 <=> a^4-180a^2+5184=0[/tex]
Am obtinut o ecuatie bipatrata in necunoscuta a. Notam [tex]a^2=y>0[/tex] si obtinem ecuatia de gradul 2 in necunoscuta y:
[tex]y^2-180y+5184=0[/tex]
[tex]delta=11664=108^2[/tex]
Solutiile sunt y1=36 si y2=144, ambele pozitive, deci convin.
Pentru [tex]y1=36 => a^2=36 => a=6 => b= \frac{72}{6} =12[/tex]
Pentru [tex]y2=144 => a^2=144 => a=12 => b= \frac{72}{12} = 6[/tex]
Deci latimea, respectiv lungimea, vor fi de 6 cm, respectiv de 12 cm.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!