Răspuns :
Trebuie sa aratam ca [tex]A_n\vdots2[/tex] si [tex]A_n\vdots3[/tex] pentru orice n natural nenul.
Daca n este par, atunci numarul dat este suma de doua numere pare, deci se divide la 2.
Daca n este impar, atunci numarul dat este suma de doua numere impare, deci este par.
Ca sa verificam divizibilitatea la 3, consideram pentru n scrierile>
n=3k, k natural nenul, ⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=3k(9k^2+5)\vdots3[/tex]
n=3k+1, k natural, nenul⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)\vdots3[/tex] deoarece ultima paranteza se divide la 3.
n=3k+2, k natural, nenul⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=93k+2)(9k^2+12k+9)\vdots3[/tex], deoarece ultima paranteza se divide la 3.
Deci in toate cazurile, [tex]A_n[/tex] se divide la 2 si la 3, deci se divide la 6.
Daca n este par, atunci numarul dat este suma de doua numere pare, deci se divide la 2.
Daca n este impar, atunci numarul dat este suma de doua numere impare, deci este par.
Ca sa verificam divizibilitatea la 3, consideram pentru n scrierile>
n=3k, k natural nenul, ⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=3k(9k^2+5)\vdots3[/tex]
n=3k+1, k natural, nenul⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)\vdots3[/tex] deoarece ultima paranteza se divide la 3.
n=3k+2, k natural, nenul⇒[tex]A_n=n(n^2+5)=93k+2)(9k^2+12k+9)\vdots3[/tex], deoarece ultima paranteza se divide la 3.
Deci in toate cazurile, [tex]A_n[/tex] se divide la 2 si la 3, deci se divide la 6.
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!