👤
GABRI18VIZ
a fost răspuns

Calculati:[tex] \sqrt{ \frac{1}{1*2*3}+ \frac{1}{2*3*4}+ \frac{1}{3*4*5}+...+ \frac{1}{48*49*50} } [/tex]

Răspuns :

Se arata mai întâi că:

[tex]\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)}=\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)}\right)[/tex]  (se aduce la acela;i numitor ]n dreapta, ;i se ob'ine egalitatea.

Se folosește  scrie apoi egalitatea aceasta pentru n=2, 3, ..., 49 și se obține:

[tex]\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac{1}{1\cdot2}-\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{2\cdot3}-\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{48\cdot49}-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=[/tex]

[tex]\sqrt{\dfrac12\cdot\left(\dfrac12-\dfrac{1}{49\cdot50}\right)}=...[/tex] mai departe cred ca nu sunt probleme.

Trebuie să obții [tex]\dfrac{3\sqrt{34}}{35}[/tex]
GETATOTANVIZ
trei numere consecutive : 
                     1 / n· ( n +1) ·( n +2)  = 1 /2n  -  1 /( n +1)  + 1 /2·( n +2) 
n =1           1 / 1 · 2 ·3 =       1 /2·1    - 1 /2   + 1 / 2·3
n= 2           1 / 2 · 3 ·4 =      1 / 2 · 2  - 1 /3    + 1 / 2·4
n=3             1 / 3 · 4·5  =    1 / 2·  3   - 1 / 4   + 1 / 2 ·5 
n= 4             1 / 4 ·5·6  =    1 /  2 ·4   -  1 /5   + 1 / 2 · 6 
.................................................................................
n = 46           1 / 46·47·48 = 1 / 2·46  - 1 / 47  + 1 / 2· 48
n =47             1 / 47 ·48·49 = 1 / 2·47  -1 / 48  + 1 / 2· 49 
n= 48             1 / 48 ·49 ·50 = 1 / 2·48 - 1 /49   + 1 / 2 ·50 

suma = 1 /2  -1 /2  + 1 /2·2  -1 /49  + 1 /2·49 + 1 /2·50  , ceilalti se simplifica =0
suma = 1 /4   - 1 /2· 49  + 1 /2·50 = ( 49 ·50  - 2·50 + 2·49) / 4 ·49·50 =
          = ( 2450  - 100 + 98) / 4 · 49 ·50 = 2448  / 4 ·49 ·50 = 1224 / 4 · 49 ·25 
=306 / 49 · 25 
√suma = √306  / √49·√25 = 3√34 / 7 ·5  = 3√34 / 35
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari