👤

Sa se studieze injectivitatea , surjectivitatea si bijectivitatea functiei :
g:R->R , g(x)= x , x<=1
ax+b , x aparttine intervalului (1 ,3)
2x+4 , x>=3


Răspuns :

Consideram trei functii 

[tex] g_{1} :(- \infty 1] -\ \textgreater \ IR , g_{1}(x)=x g_{2} :(1 3) -\ \textgreater \ IR , g_{2}(x)=ax+b g_{3} :(3 \infty ] -\ \textgreater \ IR , g_{3}(x)=2x+4 [/tex]

Functia g este injectiva daca [tex]g_{1},g_{2},g_{3} [/tex] injective si Img(1)
∩Img(2)=Img(g2) ∩ Img(g3)= Img(g3)∩ Img (g1)= multimea vida

Functia g este surjectiva daca Img(1)
Img(2)∪Img(3)=IR

Functia g bijectiva daca  g injectiva si g surjectiva

Cum g1,g2,g3  sunt toate functii de gradul I, toate sunt injective. In plus[tex]Img_{1}=(-\infty 1], Img_{3}=[10 \infty)[/tex] atunci pentru ca g sa fie surjectiva avem (1 10)⊆ Img(2)

Calculam acuma imagine lui g2 si obtinem
Fie y=g2(x)=ax+b
[tex](-\infty 1][/tex]

Avem de trat trei cazuri: 

[tex]a=0=\ \textgreater \ y=Img_{2}={b}[/tex] Cum (1 10) ⊄{b} f 
nu este surjectiva si deci nici bijectiva.
Daca b∉ [tex][10 \infty)[/tex] atunci g este injectiva
in caz contrar nu este.

[tex]a\ \textgreater \ 0 [/tex] obtinem (cum a≠0) ca [tex]x= \frac{y-b}{a} [/tex]
dar cum 1<X<3  obtinem [tex]1\ \textless \ \frac{y-b}{a} \ \textless \ 3 = \ \textgreater \ \ \textgreater \ a+b\ \textless \ y\ \textless \ 3a+b =\ \textgreater \ Img_{2}=(a+b ; 3a+b)[/tex].

Pentru g 
sa fie surjectie trebuie sa avem urmatorul caz (sunt 3 cazuri)


[tex]a\ \textless \ 0 [/tex]
Se procedeaza aproximativ la fel ca in cazul anterior, doar ca la inmultirea cu a  in acel lant de inegalitati se vor schimba semnele.












Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!


Viz Lesson: Alte intrebari