a) [tex] 2^{1+2+3+...+12} =2^{n+3}[/tex]
=> 1+2+3+...+12=n+3
12*13:2=n+3
78=n+3
n=75
b) [tex]7^{11+12+13+...+30}=(7^n)^3*49[/tex]
11+12+13+...+30=(30+11)(30-11+1):2=41*20:2=410
[tex]7^{410}=7^{3n}*7^2[/tex]
[tex]7^{408}*7^2=7^{3n}*7^2[/tex]
[tex]7^{408}=7^{3n}[/tex]
3n=408
n=136
c)[tex]3^{2+4+6+...+20}=3^{n(n+1)}[/tex]
2+4+6+...+20=2(1+2+3+...+10)=2*10*11:2=10*11
[tex]3^{10*11}=3^{n(n+1)}[/tex]
10*11=n(n+1)
=> n=10
d)[tex]5^{20+24+28+...48}=25^n[/tex]
20+24+28+...+48=4(5+6+7+...+12)=4*(12+5)(12-5+1):2=4*17*8:2=2*136
[tex]5^{2*136}=5^{2n}[/tex]
2*136=2n
n=136
e)[tex]11^{1+3+5+...+31}=11^{n^2}[/tex]
1+3+5+...+31=(31+1)[(31-1):2+1]:2=32*16:2=256
[tex]11^{256}=11^{n^2}[/tex]
n²=256
n=16
f)[tex]2^{5+12+19+...+75}=2^{11n}[/tex]
5+12+19+...+75=(75+5)[(75-5):7+1]:2=80*11:2=40*11
[tex]2^{40*11}=2^{11n}[/tex]
40*11=11n
n=40
