Răspuns :
1) Avem [tex]\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex].
Dând lui k valori de la 1 la n avem
[tex]\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1}=\\=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}[/tex]
Rezultă n=100.
2) Suma se scrie
[tex]\left(\displaystyle\frac{12}{11}-1\right)+\left(\displaystyle\frac{13}{22}-\frac{1}{2}\right)+\ldots+\left(\displaystyle\frac{110}{1089}-\frac{1}{99}\right)=\\=\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{2}{22}+\frac{3}{33}+\ldots+\frac{99}{1089}=\\=\underbrace{\displaystyle\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{11}}_{\mbox{99 ori}}=\frac{99}{11}=9[/tex]
Deci suma este pătratul lui 3.
3) Ecuația se scrie
[tex]\displaystyle\frac{x}{99}+\frac{10+x}{99}+\frac{20+x}{99}+\ldots+\frac{80+x}{99}=x[/tex]
sau [tex]9x+10+20+\ldots+80=99x\Rightarrow 90x=360\Rightarrow x=4[/tex]
4) [tex]\sqrt{3^4+3^5}=\sqrt{3^4(1+3)}=\sqrt{81\cdot 4}=9\cdot 2=18[/tex]
Dând lui k valori de la 1 la n avem
[tex]\displaystyle\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{n(n+1}=\\=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}[/tex]
Rezultă n=100.
2) Suma se scrie
[tex]\left(\displaystyle\frac{12}{11}-1\right)+\left(\displaystyle\frac{13}{22}-\frac{1}{2}\right)+\ldots+\left(\displaystyle\frac{110}{1089}-\frac{1}{99}\right)=\\=\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{2}{22}+\frac{3}{33}+\ldots+\frac{99}{1089}=\\=\underbrace{\displaystyle\frac{1}{11}+\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{11}}_{\mbox{99 ori}}=\frac{99}{11}=9[/tex]
Deci suma este pătratul lui 3.
3) Ecuația se scrie
[tex]\displaystyle\frac{x}{99}+\frac{10+x}{99}+\frac{20+x}{99}+\ldots+\frac{80+x}{99}=x[/tex]
sau [tex]9x+10+20+\ldots+80=99x\Rightarrow 90x=360\Rightarrow x=4[/tex]
4) [tex]\sqrt{3^4+3^5}=\sqrt{3^4(1+3)}=\sqrt{81\cdot 4}=9\cdot 2=18[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe platforma noastră dedicată Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, nu ezitați să ne contactați. Așteptăm cu entuziasm să reveniți și vă invităm să ne adăugați la lista de favorite!